Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1013-1011-lim-posled-3-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:15:01 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:21:04 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: spiral galaxy

Гимназия 1543

Еще несколько следствий из аксиомы непрерывности
Ранее из аксиомы непрерывности была получена аксиома о вложенных отрезках. Ее уточняет

Предел последовательности 3
10-В класс

10 декабря 2010 г.

Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Пусть на числовой прямой есть бесконечная
последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда существует и единственна точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке. 1) Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 2) Ограниченная последовательность имеет предельную точку. 1. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Верно ли обратное?

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
Указание. Пусть последовательность неубывающая. Тогда рассмотрим точную верхнюю грань множества членов последовательности. Теорема Вейерштрасса позволяет доказать существование предела, не вычисляя его. Для вычисления часто удобно задать последовательность реккурентно, перейти к пределу и решить получившееся уравнение. 2. Найдите описанным способом предел последовательности: а) 2n . б) xn = n! 3. Вычислите: а) и найдите его. 1 а) xn+1 = xn 2

x

n

=q

n

при

0
;

2+

2+



2 + ...

; б)

3 3 3...

.

4. Последовательность задана рекуррентным соотношением. Докажите, что она имеет предел,

+

a , xn

x1 = a > 1

.

б)

x

n+1

=

1 3

2xn +

a . x2 n
n . Обозначим ее предел как

5. Рассмотрим такую последовательность: x1 = 1 тогда a = 1 - a, откуда a = . Где ошибка? 2 чена ли она? 7. Найдите
n

1, x

n+1

= 1-x

a,

6. Последовательность задана рекуррентным соотношением:

x1 = a, x

n+1

= xn +

1 . Ограниxn

lim

n

10

. Указание. Сначала докажите существование предела, а затем воспользуй-

тесь равенством 8. Найдите предела.
n

lim

n

n

lim

n

10 = lim

2n



n

10

n.

Указание. Угадайте, чему равен этот предел, затем вспомните определение

Определение 1. Последовательность называется фундаментальной, если она имеет отрезки-

ловушки сколь угодно малой длины.

xn называется фундаментальной, ( > 0)(N )(k, l > N )(|xk - xl | < ).
Определение 2. Последовательность

если

9. Докажите эквивалентность двух последних определений. 10. Сформулируйте определение последовательности, не являющейся фундаментальной. 11. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. 12. Докажите, что всякая фундаментальная последовательность ограничена.

Критерий Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она
фундаментальна. 13. а) Может ли фундаментальная последовательность рациональных чисел не иметь рационального предела? б) Может ли сходящаяся к рациональному числу последовательность рациональных чисел не быть фундаментальной? 14. Докажите расходимость гармонического ряда с помощью критерия Коши.


Число
15. Докажите, что последовательность

e
1 n
n

xn = 1 +

возрастает. числу:

Указание. Примените неравенство Коши к

n+1

1

и

n

раз по

1+

1 . n

16. Докажите, что для всех натуральных
Определение.

n

выполняется неравенство
1 n
n

(1 +

1n ) n

<3

.

n

lim

1+ e.
а)
n

=e

. 17. Докажите корректность определения числа 18. Вычислите пределы последовательностей: г)
n+1 n-1
n n n-1 n

1+
;

;

д)

5n + 6 1 + 5n

n 2

1 2n

;
2

б)

1+
n

1 n-1

;
1 n

в)

1-

1 n

;

;

е)

Домашнее задание
+
n

n2 - 5n + 1 n2 - 3

ж)

3n2 - 1 n +n+1

;

з)

n-

.

19. Докажите, что из всякой неограниченной последовательности можно выбрать подпоследовательность, стремящуюся к 20. Вычислите: а)
n=0

или к

- -
2 3
n

(0, 6)

,

б)

n=0

.

21. Докажите, что последовательность 22. Докажите, что последовательность

(n!)2 (2n)!

бесконечно мала.
1 22

xn = 1 +

+

1 33

+ ... +

1 сходится. nn

23. Последовательность задана рекуррентным соотношением: а) an+1 = 3 + an , 1 2 б) an = an-1 - an-1 , a1 = . Докажите, что она имеет предел, и найдите его. 2 1 27 24. Найдите предел последовательности an , если an+1 = 2an + a2 , a1 = 1 3 n 25. Вычислите 26. Найдите



a1 =



3

;

n

2n + 3n

.

n

lim xn

, если

xn =

23 - 1 23 + 1

ћ

33 - 1 33 + 1

ћ ...

n3 - 1 . n3 + 1

27. Вычислите методом последовательных приближений а) 28. Вычислите пределы последовательностей: а) г)
n+2 n-1
n



2;

б)

3

5

с точностью до сотых.
n 2

;

б)

n+1 2n - 3

;

в)

1+

7 2n + 3

n

;

1-

3 n

n

;

д)

n2 + 2n - 1 2n2 - 3n - 2

1 n

.