Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1001-1011-trig-2-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:14:37 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:03:10 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п

Гимназия 1543

10-В класс

14 сентября 2010 г.

Тригонометрия - 2

Определение.

f (x)

Число T называется выполняются равенства

Периодические функции
периодом

функции

f (x)

, если для любого x их области определения

f (x - T ) = f (x) = f (x + T ).

1. Всякая ли функция имеет период? 2. Что можно сказать о функции, периодами которой являются все числа? 3. Пусть функция f (x) имеет периоды T1 и T2, Докажите, что ее периодами также являются числа: а) -T1; б) T1 + T2; в) nT1; г) nT1 + kT2, где n, k произвольные целые числа. Определение. Функция, имеющая ненулевой период, называется периодической. 4. Найдите наименьший положительный период функции: а) f (x) = {x}; б) f (x) = {3x}. 5. Докажите, что если у функции есть наименьший положительный период T , то все остальные периоды кратны T . Наименьший положительный период функции называется ее основным периодом. 6. Найдите основной период функции: а) f (x) = x + 3 x ; б) f (x) = {3x} + 8{5x}; 3 5 в) f (x) = 1 + {4x}. 7. Является ли периодической функция: а) f (x) = {x2}; б) f (x) = {x} + {x 2}?
Свойства тригонометрических функций

Функции y = sin x, y = cos x периодические. Их основной период равен 2. Функции y = y = ctg x периодические. Их основной период равен . 8. Найдите период функции: а) f (x) = sin 3x + 2 cos 5x; б) f (x) = sin 4 x + 3 tg 7 x + cos 5x. 5 8 47 26 199 9. Вычислите а) sin 6 ; б) cos 1543; в) tg 3 ; г) ctg 4 . Теорема. Функция y = cos x четная, а функции y = sin x, y = cos x и y = cos x нечетные.
Теорема.

tg x

,

Формулы приведения

10. а) Какое движение переводит точку б) Докажите формулы 11. а) Какое движение переводит точку б) Докажите формулы 12. а) Какое движение переводит точку б) Докажите формулы
sin(
2

P

в точку в точку в точку в точку

P

+

?
cos( + ) = - cos .

sin( + ) = - sin ; P P
-

? ?
tg(
2

sin( - ) = sin ; P P
2

cos( - ) = - cos .
-

- ) = cos ;

cos(

2

- ) = sin ; P P
2

- ) = ctg ;

ctg(

2

- ) = tg .

13. а) Какое движение переводит точку б) Докажите формулы
sin(
2

+

?
2

+ ) = cos ;

cos(

2

+ ) = - sin ;

tg(

+ ) = - ctg ;

ctg(

2

+ ) = - tg .

Формулы, полученные в 4 последних задачах, и аналогичные им называются формулами приведения. Они позволяют привести тригонометрическую функцию от любого аргумента к функции от аргумента, находящегося в 1 четверти тригонометрического круга (и даже в ее первой половине). Пользуясь периодичностью тригонометрических функций, можно продолжать ряд формул приведения сколь угодно долго. Чтобы не учить много отдельных формул, используют мнемоническое правило: 1) Пусть в левой части формулы стоит функция от + , - или - , где = 2n . Если укладывается в целое число раз (при этом откладывается от оси Ox), то название функции не меняется. Если укладывается в "полуцелое"число раз ( откладывается от оси Oy), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус и обратно, тангенс на котангенс и обратно)


2) При определении знака можно считать, что аргумент принадлежит первой четверти. Исследуем каждую из тригонометрических функций по стандартному плану: 1) область определения и область значений функции 2) четность (нечетность) 3) периодичность (с указанием основного периода) Благодаря (не)четности, периодичности и формулам sin( - ) = sin , cos( - ) = - cos достаточно построить график каждой тригонометрической функции на отрезке [0; 2 ], а затем продолжить на всю ось. А для этого определить, возрастает или убывает функция на указанном отрезке и отметить контрольные точки. 4) нули функции 5) интервалы знакопостоянства 6) промежутки монотонности 7) наличие асимптот График функции y = sin x называется синусоидой, а график функции y = tg x тангенсоидой. Докажите, что как геометрическая фигура график функции: а) y = cos x равен синусоиде; б) y = ctg x равен тангенсоиде. Как отражаются на графиках функций y = sin x и y = tg x приближенные равенства sin x x tg x для малых x? Постройте график функции: а) y = 1 - tg(x + ); б) y = 2 sin( - x). 4 3 8 3 8 3 Определите знак разности: а) ctg 7 14 - ctg 9 27 ; б) tg 7 14 - ctg 9 27 .
Дополнительные задачи Графики тригонометрических функций

14. 15. 16. 17.

18. а) У всякой ли периодической функции найдется наименьший положительный период? б) Существует ли такая функция, что любое рациональное число является ее периодом, а любое иррациональное нет? в) Существует ли такая функция, что любое иррациональное число является ее периодом, а любое рациональное нет? 19. Может ли функция f (x) иметь основной период 2, функция g(x) 6, а функция f (x) + g(x) 3? 20. Вычислите: а) tg 1 tg 2 . . . tg 89; б) ctg 1 + ctg 2 + . . . + ctg 179; в) ctg 1 ctg 2 . . . ctg 179. 21. Расположите в порядке возрастания числа sin 1, sin 10 и sin 13.
Домашнее задание
1 22. Найдите основной период функции f (x) = {5, 3x} - 5x + 4 + 4. 23. Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите наименьший положительный период. а) y = cos x; б) y = cos |x|; в) y = cos x; г) y = | cos x|. 24. а) Какое движение переводит точку P в точку P +? б) Какое движение переводит точку P в точку P -? 25. Постройте график функции: а) y = tg( x ); б) y = |1 - 2 sin(x + )|; в) y = cos(|2x| - 23 ); 2 4 y = ctg | - x|. 6 26. Возьмите цилиндр (например, свечу или сосиску), намотайте на него лист бумаги в несколько слоев и аккуратно разрежьте все это острым ножом наискосок. Разверните бумагу. Докажите, что линия разреза является синусоидой. 27. Сравните числа: а) cos 19 и cos(- 13 ); б) sin 17 и cos(- 67 ); в) sin 7 и cos 7. 9 6 5
3 2 3 2