Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1001-1011-trig-1-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:14:34 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:03:03 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: south pole

Гимназия 1543

Тригонометрия - 1

10-В класс

3 сентября 2010 г.

Рассмотрим окружность, ее центральный угол и высекаемую им дугу. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги к радиусу окружности. Таким образом, 1 радиан - величина центрального угла, длина дуги которого равна радиусу окружности. 1. а) Выразите в радианах угол, равный 36 , 330 . б) Выразите в градусах угол, равный 32 , 1. 2. Запишите формулы длины дуги l и площади сектора S , если радиус окружности равен R, а центральный угол равен и измерен: а) в градусах; б) в радианах. 3. Составьте таблицу перехода от градусной меры к радианной для углов 30 , 45 , 60 , 90 , 120 , 135 , 150 , 180 , 270 , 360 . 4. Составьте таблицу значений sin и cos для значений = 0, , , , . 6432
Определение.

Радианная мера угла

5. Найдите значение выражения: а)

ctg

cos sin - 6 3 4

-2

; б)

cos - 2 sin

3 2

- sin

3 2

2

6. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Рассмотрим отображение множества действительных чисел на единичную окружность. Числу 0 сопоставим точку P0 (1, 0). Произвольному числу точку P образ точки P0 при повороте с центром в начале координат на угол радиан. Это отображение называют намоткой действительной прямой на окружность, а получившуюся окружность тригонометрическим кругом. Отметьте на тригонометрическом круге числа , -, , 32 , - , , 34 , 54 , , 56 , , 23 , 43 . 2 24 6 3 Отметьте на тригонометрическом круге все точки вида: а) + 2n, где n Z; б) - + n, где n Z; в) 3n , где n Z; 4 6 Определение. Пусть точка P изображает на тригонометрическом круге число . Ордината точки P называется синусом , а абсцисса косинусом . sin tg = ; ctg = cos . cos sin Как согласуется последнее определение с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника? Проведем касательную l к единичной окружности в точке P0 . Пусть T точка ее пересечения с прямой, проведенной через точку P и начало координат. Докажите, что: а) T существует тогда и только тогда, когда cos = 0; б) в этом случае ордината точки T равна tg . Прямую l называют линией тангенсов. Определите аналогичным образом линию котангенсов. Углом какой четверти является угол , если а) sin < 0, cos > 0; б) cos < 0, tg > 0? Оцените выражение: а) 2 - 3 sin ; б) |3 + 4 cos |. Возможно ли равенство 5 cos - 3 sin = 8? Сравните числа: а) cos 1 и cos 2; б) sin 1 и sin 2. Определите знак числа sin cos 2. Решите уравнение: а) sin = 1; б) tg = 0; в) cos = 23 .

Тригонометрические функции числового аргумента

tg + cos(- ) - sin 6 4 4

.

17. Запишите, чему равна угловая скорость часовой, минутной и секундной стрелок (в радианах в минуту). 18. Во сколько раз угол в градусов меньше угла в 1 радиан? 19. Объясните, почему для малых углов верны приближенные равенства sin и tg . (Например, относительная погрешность первого равенства для углов, меньших 10 , не превышает 1%) 20. Астрономы измеряют расстояния в парсеках. 1 парсек это расстояние, с которого радиус (точнее, большая полуось) земной орбиты виден под углом 1 . Сколько километров в 1 парсеке? R 150 000 000 км. 1 21. Военные измеряют малые углы в тысячных. 1 тысячная это 3000 развернутого угла. Расстояние Р до удаленных В предметов известной высоты В приближенно определяется по формуле Р = У ћ 1000, где У угол, под которым виден предмет, измеренный в тысячных. Чему равно число с точки зрения военных? 22. Колесо радиуса 1 касалось оси абсцисс в начале координат. В момент времени 0 оно покатилось по оси абсцисс направо со скоростью 1 (т.е. за время t его центр смещается на t). Пусть М точка на окружности колеса, совпадавшая вначале с началом координат. Запишите ее координаты x и y как функции от времени t. Нарисуйте примерно траекторию точки М. Эта кривая называется циклоидой.

Дополнительные задачи


Домашнее задание
23. Составьте таблицу значений 25. Вычислите 26. 27. 28. 29.
sin cos tg

,

,

и

ctg

для значений

= 0,

2 3 5 ,,,, , , , 6432 3 4 6
-1

.
ctg 2 3 - cos - 2
2

24. Найдите значение выражения а)
1 - tg

ctg cos sin 6 3 4

; б)

sin cos - 3 4

tg - 6

; в)

4 tg 0 - 2 sin - 3 sin - 2

.

а) sin = 0; в) cos = 1; д) tg = 3; ж) ctg = 0; Решите уравнение: б) sin = - 1 ; г) cos = 2 ; е) tg = -1; з) ctg = - . 1 2 2 3 Решите уравнение cos = 2a - a2 - 2. Определите знак выражения sin 47 cos - 49 tg 45 ctg - 4 . 11 3 3 2 Сравните два числа: а) sin 10 и sin 10 ; б) cos 5 и cos 5 sin . 5

+ tg2 - tg3 + . . . 6 6 6

.



30. Докажите основное тригонометрическое тождество и его следствия: tg2 + 1 = cos1 , ctg2 + 1 = 31. Известно, что tg = 2, 4 и < < 32 . Найдите 2
2 2 2

Основное тригонометрическое тождество
sin2 + cos2 = 1
1 sin2

ctg

и

sin

.

1 - sin 32. Упростите выражение: а) 1 - cos + tg ctg ; б) ctg - 1 - cos , если < < 2. 1 + cos 6 2 6 2 33. Докажите тождество sin + cos + 3 sin cos = 1. 34. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение (tg +1ctg ) - (tg - ctg ) принимает - tg - ctg sin cos одно и то же значение. cos -2 35. Известно, что tg = 2. Найдите: а) 34sin - 5cos ; б) 2sin + cos . sin + sin cos 36. Найдите область значений функции: а) f (x) = 3 cos2 x - 4 sin2 x; б) 5 cos2 x - tg xctg x. 37. Докажите неравенство: sin2 cos2 0, 25; б) sin4 + cos4 0, 5; в) sin6 + cos6 0, 25. 1 38. Докажите неравенство sin + cos + tg + ctg + sin + cos1 6, если 0 < < . 2 39. Найдите cos + sin , если tg + ctg = a. 40. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 2 cos2 - 3 sin . 1 41. Найдите наименьшее значение выражения tg2 + cos .
2 2 2 2 2 2 3 3 2

7 42. Найдите: а) sin и ctg , если cos = - 25 и < < 32 ; б) cos и tg , если ctg = -0, 75 и < < 2. cos 43. Упростите выражение: а) 1 + sin + tg ; б) sin2 (1 - ctg ) + cos2 (1 - tg ), если 32 < < 2; в) 2 - 2 cos2 + 2 sin2 - 2 2 sin + 1, если 34 . cos sin 44. Докажите тождество: а) (- cos +ctg )(sin +tg ) = (1+ cos )(1 - sin ); б) (sin + ctg )- - sin tgcos = cos 1 1 - . sin cos 2 cos 7 sin 2 45. Известно, что ctg = -2. Найдите : а) 3 cos + -sin cos ; б) sin6 + cos6 . 4 8 8 46. Докажите неравенство: а) sin + cos 0, 125; б) tg2 + ctg2 + sin1 + cos1 6. 47. Найдите sin4 + cos4 , если sin + cos = a. 48. Известно, что sin2 cos2 = a. Найдите 1sintg + 1 cosctg . - - 49. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 - cos2 - 2 sin2 . 50. Найдите наибольшее значение выражения sin2 x cos4 x(2 - sin2 x). 51. Постройте график функции y = tg x ћ ctg x.
2 2 2 2 2 10 10 4 4

Домашнее задание