Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/1075_Exam_Problems.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Sun Sep 2 21:08:52 2012 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Feb 5 07:43:12 2013 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

Ãèìíàçèÿ 1543, 8-Â êëàññ
Ëèñòèê 10.75, 31 ìàÿ 2010.
Íåêîòîðûå çàäà÷è ýêçàìåíà.

21.  áèáëèîòåêå n êíèã è íåñêîëüêî ÷èòàòåëåé (êàæäûé ïðî÷åë õîòÿ áû îäíó
êíèãó). Ïðî ëþáûå k êíèã (1˜k˜n) èçâåñòíî, ñêîëüêî ÷èòàòåëåé ïðî÷èòàëî èõ
âñå. Êàê íàéòè îáùåå ÷èñëî ÷èòàòåëåé?

22. à)  êîìïàíèè èç n ÷åëîâåê êàæäûé óçíàë íîâûé àíåêäîò. Çà îäèí
òåëåôîííûé ðàçãîâîð äâîå ñîîáùàþò äðóã äðóãó âñå èçâåñòíûå èì àíåêäîòû.
Äîêàæèòå, ÷òî íå áîëåå ÷åì çà 2n - 3 òåëåôîííûõ ðàçãîâîðà âñå ìîãóò
óçíàòü âñå àíåêäîòû.

á) Ïóñòü ëþäåé áîëüøå 3. Äîêàæèòå, ÷òî èì õâàòèò 2n - 4 ðàçãîâîðîâ.

23. Äàíà îêðóæíîñòü w è ïðÿìàÿ a. Ïîñòðîéòå ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê òàê,
÷òîáû îí áûë îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè w, è îäíà èç åãî âåðøèí ëåæàëà íà
ïðÿìîé a.

24. Äåâÿòíàäöàòü ÷åëîâåê ïîøëè â ïîõîä, è êàæäûé âçÿë ñ ñîáîé îäíó ëîæêó.
Ïîñëå çàâòðàêà, êîãäà âñå ëîæêè ïîìûëè, ó÷àñòíèêè ïîõîäà áåðóò ëîæêè ïî
ðîñòó - ñíà÷àëà ñàìûé ìàëåíüêèé, ïîòîì ñëåäóþùèé è òàê äàëåå äî ñàìîãî
áîëüøîãî. Ñàìûé ìàëåíüêèé áåðåò ñåáå ïåðâóþ ïîïàâøóþñÿ, à îñòàëüíûå åñëè
ìîãóò, òî áåðóò ñâîþ, à åñëè íå ìîãóò - òî áåðóò ëþáóþ èç îñòàâøèõñÿ.
Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ðàñïðåäåëåíèé ëîæåê ïî ëþäÿì ìîæåò
ïîëó÷èòüñÿ?

25. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî â òðåóãîëüíèêå Ïàñêàëÿ, óìåíüøåííîå íà 1,
ðàâíî ñóììå âñåõ ÷èñåë, çàïîëíÿþùèõ ïàðàëëåëîãðàìì, îãðàíè÷åííûé ëåâîé è
ïðàâîé äèàãîíàëÿìè, íà ïåðåñå÷åíèè, êîòîðûõ ñòîèò ÷èñëî (ñàìè äèàãîíàëè â
ïàðàëëåëîãðàìì íå âêëþ÷àþòñÿ).

26. Äîêàæèòå, ÷òî 13 + 23 + 33 + ... + 9993 äåëèòñÿ íà 1000

27. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

[pic]

28. Èç âåðøèíû A êâàäðàòà ABCD âíóòðü êâàäðàòà ïðîâåäåíû äâà ëó÷à, íà
êîòîðûå îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû ÂÊ, BL, DM è DN èç âåðøèí B è D.
Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè KL è MN ðàâíû è ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó.

29. Êóá ñî ñòîðîíîé 20 ðàçáèò íà 8000 åäèíè÷íûõ êóáèêîâ, è â êàæäîì êóáèêå
çàïèñàíî ÷èñëî. Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîì ñòîëáèêå èç 20 êóáèêîâ,
ïàðàëëåëüíîì ðåáðó êóáà, ñóììà ÷èñåë ðàâíà 1 (ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòîëáèêè
âñåõ òðåõ íàïðàâëåíèé).  íåêîòîðîì êóáèêå çàïèñàíî ÷èñëî 10. ×åðåç ýòîò
êóáèê ïðîõîäèò òðè ñëîÿ 1*20*20, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíÿì êóáà. Íàéäèòå ñóììó
âñåõ ÷èñåë âíå ýòèõ ñëîåâ.

30. Ìîæåò ëè ÷èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãî ðàâíà 2010, áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì?

31. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíî 2007 áåëûõ òî÷åê è îäíà ÷¸ðíàÿ òî÷êà. Êàêèõ
ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ áîëüøå: ñîäåðæàùèõ ÷¸ðíóþ
âåðøèíó èëè íå ñîäåðæàùèõ å¸ è íà ñêîëüêî?

32. Íàéäèòå ÍÎÄ âñåõ 10-çíà÷íûõ ÷èñåë ñîñòîÿùèõ èç ðàçëè÷íûõ öèôð.

33. Íàéäèòå êîìïîçèöèþ ïîâîðîòà è îñåâîé ñèììåòðèè, îñü êîòîðîé ïðîõîäèò
÷åðåç öåíòð ïîâîðîòà.

34. Íàéäèòå ñóììó 1 n + 2 (n - 1) + 3 (n - 2) + ... + n 1.

35. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 =y2+2y+13.

36. Ñêîëüêî äâîåê â ðàçëîæåíèè ÷èñëà [pic] íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè?

37. Ñòàðèííàÿ êðåïîñòíàÿ ñòåíà êîãäà-òî èìåëà ôîðìó êâàäðàòà. Ñî âðåìåíåì
îíà ðàçðóøèëàñü, îäíàêî ñîõðàíèëàñü ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòü êàìåííîé êëàäêè íà
äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîíàõ êâàäðàòà, à òàêæå îñòàòêè àðñåíàëà,
êîòîðûé ðàñïîëàãàëñÿ â öåíòðå êâàäðàòà. Âîññòàíîâèòå êðåïîñòíóþ ñòåíó

38. ×èñëî [pic] çàïèñàëè â âèäå a+b[pic] ñ öåëûìè a è b. Äîêàæèòå, ÷òî|a2-
2b2|=1

39. Óñòàíîâèòå áèåêöèþ òî÷êàìè èíòåðâàëà (-1,1) è òî÷êàìè ïðÿìîé y=1.

40. Óñòàíîâèòå áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâîì ïóòåé èç ëåâîé íèæíåé âåðøèíû
ïðÿìîóãîëüíèêà mân â ïðàâóþ âåðõíþþ, äâèãàþùèõñÿ òîëüêî ââåðõ è âïðàâî ïî
ëèíèÿì ñåòêè; è ìíîæåñòâîì ñëîâ ñîñòîÿùèõ èç m áóêâ «à» è n áóêâ «ó».