Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/070_Isometry.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:08:28 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 06:51:40 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п

Гимназия 1543, 8-В класс
Листик 7, 10 декабря 2009.
Движения 2. Поворот.

Поворотом вокруг точки O (называемой центром поворота) на угол ( называется
преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A',
для которой OA=OA', и (AOA'=(, причем вращение происходит против часовой
стрелки. Поворот на тот же угол против часовой стрелки называют «поворотом
на -(».

Центральная симметрия является поворотом на угол 180(.

Свойства поворота.
1. Докажите, что при повороте сохраняются расстояния: если точки A, B
переходят в точки A', B' то AB=A'B'. Сколько разных случаев тут надо
разбирать?
2. Докажите, что при повороте прямые переходят в прямые.
3. Докажите, что при повороте параллельные прямые переходят в параллельные
прямые.
4. (очень важная задача) Чему равен угол между прямой и ее образом при
повороте на угол (? (Указание. Рассмотрите сначала прямую, проходящую
через центр поворота.)
5. а) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним тогда и только
тогда, когда при повороте на 60( относительно точки А вершина В переходит
в С. б) Сформулируйте аналогичный факт для прямоугольного равнобедренного
треугольника.

Задачи, где применяется поворот.
Напомним две идеи прошлого листика.
* Образ пересечения часто удобно находить как пересечение образов.
* Равенство фигур удобно доказывать, указав движение их совмещающее.
6. Отрезок AC разбит на две части точкой B, и на отрезках AB и BC как на
сторонах построены равносторонние треугольник APB и BQC (по одну сторону
от AC). Докажите, что середины отрезков AQ и PC образуют с точкой B
равносторонний треугольник.
7. В окружность с центром в точке O вписаны два правильных треугольника ABC
и A1B1C1. Пусть A2 - точка пересечения BC и B1C1, B2 - точка пересечения
CA и C1A1, C2 - точка пересечения AB и A1B1. Докажите, что треугольник
A2B2C2 - правильный.
8. Пусть М и К - середины сторон СD и DE правильного шестиугольника ABCDEF.
Найдите угол между прямыми АМ и ВК.
9. Фигура «инь-янь» получается, если из полукруга, если вырезать полукруг
вдвое меньшего радиуса и приставить его к получившейся фигуре, повернув на
180( вокруг центра круга (см. рис.). а) Разрежьте «инь-янь» на две равные
части. б) на 5 равных частей.
10. M - точка квадрата ABCD. Через точку A провели прямую a,
перпендикулярную BM, через B - b, перпендикулярную CM, через C - c,
перпендикулярную DM, через D - d, перпендикулярную AM. Докажите, что
прямые a, b, c, d пересекаются в одной точке.
Указание: какую задачу из предыдущего листика это вам напоминает?
11. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно,
причём [pic]BAM = [pic]MAK. Докажите, что BM + KD = AK.
Задачи на построение.
12. (Упражнение) Как построить образ данной: а) прямой; б) окружности при
повороте с данным центром на данный угол? А при осевой симметрии?
13. Постройте отрезок с вершинами на сторонах заданного угла, для которого
точка М является серединой.
14. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы
на данной окружности, другая - на данной прямой, третья - в данной точке.
15. Постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трех данных
параллельных прямых.
16. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, на одной из них отмечена
точка А. Постройте треугольник с вершиной в точке А, биссектрисы которого
лежат на данных прямых.
17. Даны две точки A,O, отрезок длины r, и угол (. Провести через точку A
окружность радиуса r так, чтобы из точки O она была видна под углом (.
-----------------------
[pic]