Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/060_Isometry.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:08:27 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 06:51:33 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: тбуртпуфтбоеойе учефб

Гимназия 1543, 8-В класс
Листик 6, 3 декабря 2009.
Движения 1. Симметрии

Определение Точки А и В называются симметричными относительно точки О, если
О является серединой отрезка АВ. Точка О симметрична сама себе. Центральной
симметрией с центром О называется такое преобразование плоскости, при
котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно точки О.
Свойства центральной симметрии. а) центральная симметрия сохраняет
расстояния.
б) прямые переходят в параллельные прямые (см. задачу 1)

Определение. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l,
если прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Точки
прямой l симметричны сами себе. Осевой симметрией с осью l называется такое
преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в симметричную
ей относительно прямой l.
Свойства осевой симметрии. а) осевая симметрия сохраняет расстояния.
б) прямые переходят в прямые.

Точки O называется центром симметрии фигуры, если для любой точки фигуры,
симметричная ей точка также принадлежит фигуре. Аналогично определяется ось
симметрии.

Задачи этого листика следует решать с использованием симметрий.

0. Нарисуйте прямоугольник (не квадрат). а) Отразите его относительно
диагонали. б) Отразите прямоугольник относительно его вершины.

Центральная симметрия.
1. а) Докажите, что при центральной симметрии прямая переходит в
параллельную ей прямую.
б) Прямые a и b параллельны. Докажите, что они центрально-симметричны.
2. Есть ли центр симметрии (если есть, то сколько?) у отрезка, луча,
прямой, окружности?
3. а) Докажите, что параллелограмм имеет центр симметрии.
б) Докажите, что если у четырехугольника есть центр симметрии, то это
параллелограмм. Указание: выведите из задачи 1а, что отрезки при
центральной симметрии переходят в отрезки, а, значит, стороны
четырехугольника должны перейти в стороны, а вершины в вершины.
4. На сторонах параллелограмма вне его построены равносторонние
треугольники. Докажите, что вершины этих треугольников, не совпадающие с
вершинами данного параллелограмма, являются вершинами еще одного
параллелограмма.

Осевая симметрия.
5. Сколько осей симметрии у отрезка, луча, прямой, угла? Сколько осей
симметрии может иметь треугольник?
6. Постройте фигуру, являющуюся объединением трех окружностей и имеющую
ровно а) одну; б) две; в) три; г) бесконечно много осей симметрии.
7. Докажите, что линия центров двух пересекающихся окружностей является
серединным перпендикуляром к их общей хорде.

Образ пересечения.
Часто образ точки можно найти следующим образом - представим точку как
пересечение двух линий, найдем образ каждой из них - тогда образ точки есть
пересечение образов этих линий.
8. На одной стороне угла с вершиной О отмечены точки А и В, а на другой -
точки А1 и В1, при этом ОА = ОА1, ОВ = ОВ1. Докажите, что точка
пересечения отрезков А1В и В1А лежит на биссектрисе этого угла.
9. Дан квадрат АВСD и некоторая точка М. Через точки А, В, С и D проведены
прямые, параллельные прямым МС, МD, МА и МВ соответственно. Докажите, что
все эти прямые проходят через одну точку.

Доказательство равенства по определению.
Напомним, что фигуры называются равными, если их можно совместить
наложением.
В задачах часто удобно доказывать равенство фигур, указав движение их
совмещающее.
10. Прямая, параллельная хорде АВ, касается окружности в точке С. Докажите,
что треугольник АВС равнобедренный.
11. Даны две концентрические окружности. Третья окружность пересекает одну
из них в точках А и D, а другую - в точках В и С. Докажите, что АВ = СD,
АС = ВD, а АD || BС.
12. Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного
сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности,
проведенными параллельно сторонам, равны.

Задача на построение.
13. Даны две окружности S1 и S2 и точка A. а) При помощи циркуля и линейки
постройте отрезок с концами на этих окружностях и серединой в точке A.
б) При помощи циркуля и линейки постройте точки B и C на окружностях S1 и
S2 соответственно, такие, что треугольник ABC равносторонний.