Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/10mat_0910/alg/a031.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:00:40 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 04:41:32 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ч нн

н ?? ?

??

??????????? 
??

е
x

lim f (x) = (xn ) f (xn ) f (x) =
1 x

е

? е е
,

, R

, = +

xn =

?

x

lim

1 = 0, x

n

lim xn =

е

lim 1 n xn

=0

?

x 2

lim

1 1 =, x 2

n

lim xn = 2

е

lim 1 n xn

=

1 2

? е

xn =
??

1 n

lim 1 n xn

1 x 0 x = lim n = + lim
n

?ч ?ч





?

е е

xn = -

1 n

lim 1 n xn

= lim (-n) = -
n

е е

n

lim f

1n 3

=0 =2

?

(xn ) +

е

lim 2x2 -3 x - x +1

2

?

?ч

x 0

lim f (x) = 0

?

е ??

е

n

lim

2 2- 2xn - 3 = lim n 1 + x2 + 1 n

3 x2 n 1 x2 n

= 2.

?ч ю ч
??

е
xn =
x k

n 2

lim [

е x]е

x

lim sin x k Z?
n

?

lim xn

?
1 lim [x n n n

е

xn = k +

]=k

е

xn = k -
f g

1 lim [x n n n

]=k-1

? ?

М

?

lim f + lim g = lim(f + g ) lim f ћ lim g = lim(f ћ g )

lim f lim g

= lim

?

lim g = 0 (xn )

ч?

е

?
lim

f

g

?

?

lim f (xn ) f f (xn ) lim f = lim = n = . g n g (xn ) lim g (xn ) lim g
n f g

е
?

f

g

lim f - lim g = lim(f - g ) lim cf (x) = c lim f (x)

?

?


ч

?


x + | f (x) = |
x -



3x x| - x| - 3x

, x -5; 1 |7 - x| x > -5. , + 20

lim f (x) = lim

x -

x +

lim f (x) = lim

x +

7 x+7-x = lim = 0. x + 3 x + 2 0 3x + 20 Qе
m

-3x -3 = lim 1 = -3; x - 1 x - 1 - x

ч

Pm (x) x Qn (x)

lim

?
P
m

Pm (x) lim = lim x Qn (x) x m=n m ?

ai xi = lim bi xi
x

m

ai xi

-n

ai xi bn

-n

m

i= 0 n i= 0

bn +

i= 0 1 bn-1 x

+ ...+

b0 x1n

= lim

i= 0

x

= lim

x

i= 0

ai i x bn

-n

.

е

0

?

е

lim =

am bm

е

m>n

+

-

am bn

е

?ч ?ч ?ч ч

x + x + x x

lim = aе lim = +

??

aR

е е

> 0 M R|x D (f ) x > (<)M > 0 > 0|x m > 0|x

x > (<)M

lim = aе

m M R|x D (f ) R

f (x) > (<)m? 0 < |x - | <

|f (x) - a| <

? ? ?

lim = +

е

a, R

е

е

е 

0 < |x - | <

ч?


??

f (x) > (<)m?

|f (x) - a| <

 ?ю


n

aе M1

??

xn > M1 lim f (xn ) = a?

M

> 0 M R|x D (f ) x > M (xn ) е lim xn = +?

е

n

N

n

|f (xn ) - a| <

|f (x) - a| < ? M1 N N|n N

е

е

 aе е 0 > 0 е M R x > M , x D (f ) е (Mn ) +е Mn xn D (f ) е (xn )е (xn ) + ? ? ? xn Mn че lim f (xn ) = aе  ? е
n

|f (x) - a| > |f (xn ) - a| > 0 ?

0

? е

е ?? ?
a? = +

е

x

lim (x) = 0
?

?

??

(x)

x

е

R

М

?



е


c

е
?

? ?


F (x)

cR

е


x

x
М М ? ?

е

1 F (x)

F (x)

x lim = +
x

?

? е е е ?


?

?е ?е ?е н ??
?

? ??????

??

?ч ?ч ?ч ч
??



е
a bе

Pm (x) xx0 Qn (x)

lim

=

Pm (x0 ) Qn (x0 )

е

Qn (x0 ) = 0

?

x
3

lim

ax3 +7 3x2 -4

+ b(x - 1) = 2

? ч
lim
x -
2 3

x x 0

lim (

3

(x + 1 )2 -

(x - 1 )2 )
1+2x-3 x -2

ч ч

1 lim (x sin x )

ч

x 4 -1 2 x 1 x -1

lim

3x2 -x-2 6x2 +10x+4 x x 1 x

ч
-5x+4 -6x+5

x 4

lim

|-x2 -2x+3| |x-1| x 1

lim

??ч

lim

101 202

?

2- x x 4 x -4

lim

ю
f 3 (x ) = x + 1, x = 0; 0, x = 0.

ю 
?

?

f1 (x) = x + 1е f2 (x) =

x 2 -1 x -1

0 < |x - x0 |

е

x1 xn = x0

е

?? ю

? ч?

е

? (x0 - ; x0 + ) \ {x0 } x0

?
f (x) =

x0 (x0 ; x0 + )

? ? ?

?

? ?ч ?ч
М
??



?

(x0 - ; x0 )

x1

е

| x + 2|

?

|2-x-x2 | x -1

f (x) =



|x+2|ћ|x-1| x -1

(-|x +

? 2 | )е

?

x x 0 -0 x x 0 +0

lim f (x) = a > 0 > 0|x (x0 - ; x0 ) lim f (x) = a > 0 > 0|x (x0 ; x0 + )
?
x x

|f (x) - a| < |f (x) - a| <

? ?

?

lim = a
0

x x 0 -0

lim = lim = a?
x x 0 +0

x

lim 1
4

4x-1 2 x -1

= lim 1
x
4

(2 x-1)(2 x+1) 2 x -1

= lim (2 x + 1) = 2. 1
x
4


?

?

>0 | x cos(x + 1) - 0| |
x2 -2x | x|

?ю

| x| x7 lim +--4 = lim x3 x 9 x 9 3 x -1 lim = lim 3 x 1 x -1 x 1 |x2 -6x+8| |x-2| x 2

> 0? ю = 9 x - 0| = | (x - 2)| = |x| ћ |x - 2|
2

= | x| < е ? ?

2

е ? е

| x - 0| <
3

е е
= lim
x +3 x9 x+7+4

| x - 0| < ћ 3 = ?

( x+7-4)( x+7+4)( x+3) ( x-3)( x+3)( x+7+4) x +1 = 2. 3 x 2 + 3 x +1

= lim

(x+7-16)( x+3) x9 (x-9)( x+7+4)

=

3 4

?

lim

= lim

|x-2|ћ|x-4| |x-2| x 2

= lim |x - 4| = 2.
x 2

?ч

?

?ч ю ?ч ю ч x + lim
x(x +

x x

lim f (x) = f (x0 )
0

е

(1+x)(1+2x)(1+3x)-1 x2 - x+ lim x2 -85x+165 x x 0 x 3 - 3 lim 1+2x2 3 lim x+1x2-29 x+1 lim x- - x 4 x 3 x 1 x2 + 2x - 2 x2 + x)

? ч

f (x) =

n

x f (x) = ax

ч ч
x3 -2x-1 5 x-1 x -2x-1

lim

ч

lim

ч

ч

ч

x3 -2x2 -4x+8 4 2 x2 x -8x +16

lim

?

3 1- x

-

3 1- 3 x