Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2008_2009/8mat_0809/spec/zachet_3_trimestr.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 20:56:53 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:37:19 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543, 8 класс, 2008-2009.

29 апреля.

Зачёт за III триместр. Программа.
ПОНЯТИЯ: Множества, подмножества, операции над множествами. Биекция. Конечные и бесконечные множества. Равномощность множеств. Счётные, несчётные множества. Множества мощности континуума. Перестановки, размещения, сочетания. Шары и перегородки. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Аффинная плоскость, аксиомы.
1) Сколько подмножеств у множества из n элементов? 2) Множество целых чисел счётно. 3) Множество рациональных чисел счётно. 4) В любом бесконечном множестве есть счётное подмножество. 5) Счётное о бъединение счётных множеств счётно. 6) Множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц несчётно. 7) Любые два отрезка равномощны. 8) Отрезок имеет мощность континуума. 9) Отрезок равномощен интервалу. 10) Отрезок равномощен прямой. 11) Отрезок равномощен квадрату. 12) Разделите прямую на три равные части. 13) Сколькими спосо бами можно поставить в ряд n различных предметов? 14) Сколькими спосо бами можно выбрать k предметов из n различных и поставить их в ряд? 15) Сколько k-элементных подмножеств у n-элементного множества?) 16) Сколькими спосо бами можно разбить 20 человек на пары? 17) Провели все диагонали выпуклого n-угольника, никакие три не пересеклись в одной точке. Сколько точек пересечения получилось? 18) В каждой клетке таблицы 10 в 10 пишут 1 или -1 так, что бы произведение чисел в любой строке и в любом столбце равнялось 1. Сколько существует спосо бов заполнить таблицу? 19) У мамы есть 5 детей и 17 одинаковых воздушных шариков. Сколькими спосо бами мама может раздать шары детям? А сколько спосо бов сделать это так, что бы каждый что-нибудь получил? 20) Сколькими спосо бами число n можно разбить на меньшие его натуральные слагаемые? Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. 21) Докажите, что каждое число в треугольнике Паскаля, кроме крайних единиц, равно сумме k k k двух чисел стоящих над ним: Cn+1 = Cn + Cn 1 . Докажите это же свойство, пользуясь известной k формулой Cn = (n nk!)!k! . 22) Найдите сумму чисел n-ой строки треугольника Паскаля. 23) Найдите знакопеременную сумму чисел n-ой строки треугольника Паскаля: n 3 2 1 0 Cn - Cn + Cn - Cn + : : : ± Cn . n n 2 1 0 24) Докажите, что Cn 2 + Cn 2 + Cn 2 + : : : + Cn 2 = C2n тремя различными спосо бами. 25) Докажите, что в строке треугольника Паскаля с простым номером p все числа делятся на p (кроме крайних единиц). 26) На аффинной плоскости на каждой прямой лежат как минимум две точки, через каждую точку проходят как минимум три прямые. 27) На аффинной плоскости на любых двух прямых поровну точек. Порядок плоскости. 28) Рассмотрим аффинную плоскость порядка k. а) Докажите, что каждой прямой параллельно ровно k - 1 прямых. б) Докажите, что в этой плоскости ровно k2 точек. в) Сколько в ней прямых?