Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2008_2009/8mat_0809/spec/list_22_mnozhestva_2.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 20:56:33 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:54:04 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Гимназия 1543, 8 класс, 2008-2009.

Понятие бесконечности | одно из самых важных в математике и философии познания. На вопрос "что такое натуральные числа?" мы даём ответ: "1, 2, 3, 4, 5 и так далее". Но что значит "и так далее"? Трудно сказать. Мы понимаем, что задана конструкция, которая позволяет строить всё новые и новые объекты, хотя построить их все невозможно. Бесконечность ненаблюдаема в природе; даже наша Вселенная, по современным представлениям, конечна. Однако бесконечность постижима разумом, поскольку, по-видимому, порождена им. В этом маленьком листке несколько несложных задач для знакомства с конечными и бесконечными множествами. Чтобы различать множества по количеству элементов, пользуются идеей сопоставления их элементов друг другу, | идеей, лежащей, как и само понятие множества, в основе математики. Если каждому элементу множества A можно сопоставить элемент множества B (причём каждое число из B должно быть использовано и при этом ровно один раз), то выходит, что множества А и В в некотором смысле имеют поровну элементов. В таком случае говорят, что A и B равномощны. Если множество M равномощно множеству En = {1; 2; 3; : : : ; n}, то говорят, что M | конечное множество, содержащее n элементов. При этом En понимается как эталонное множество, с которым сравнивается множество M . Сам процесс сравнения обычно на практике называется нумерацией | говорят "пронумеруем элементы M числами от 1 до n". Пустое множество тоже считается конечным, имеющим 0 элементов. Все прочие множества называются бесконечными. Одним из эталонов бесконечного множества служит N | множество натуральных чисел. 1) Докажите, что в 100-элементном множестве количество 43-элементных подмножеств равно количеству 57элементных. 2) Докажите, что чётных натуральных чисел "столько же, сколько и нечётных" (то есть установите биекцию между указанными множествами).
3) Каких пятизначных чисел больше | тех, которые делятся на 5 или тех, у которых первая и вторая цифры | не пятёрки? 4) На окружности пометили 2008 белых точек и одну красную. Каких треугольников с вершинами в этих точках больше | имеющих красную вершину или не имеющих? 5) Влад и Миша поспорили, сколько будет 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + : : :. Влад говорит, что ноль: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + : : : = (1-1)+(1-1)+(1-1)+: : : = 0+0+0+: : : = 0. Миша считает, что единица: 1-1+1-1+1-1+: : : = 1-(1-1)-(1-1)-: : : = 1 - 0 - 0 - 0 - : : : = 1. Рассудите, кто из них прав. 6) В российских уче бниках математики 0 не считают натуральным числом, а во французских считают. Докажите, что множества натуральных чисел "по российской и по французской системе" равномощны. 7) Докажите, что чётных чисел "столько же, сколько натуральных". 8) В тарабарском языке есть три согласные буквы | "т", "р" и "б" | и одна гласная | "а". Словом является любая последовательность букв, не нарушающая правил: гласные и согласные в словах чередуются, с гласной слово не начинается. а) Сколько семибуквенных слов в тарабарском языке? б) Каких слов в нём больше | 99-буквенных или 100-буквенных? в) Придумайте биекцию между N и множеством всех слов тарабарского языка. 9) Разделите прямую на две равные части.

Теория и разминка.

Конечные и бесконечные множества. Биекции.

Листок 1.8, 25 февраля.

Задачи: