Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2008_2009/8mat_0809/spec/list_11_ostatki.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 20:56:13 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:23:20 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: ngc 281

Гимназия 1543, 8 класс, 2008-2009.

В этом листке мы имеем дело только с целыми числами. . Для двух чисел, целого a и натурального b может и не найтись такое число c, что a = bc. Но даже если a . b, число a . можно поделить на b с остатком, то есть найти такое c и такое 0 r < b, что a = bc + r. Число c называют неполным частным, а число r, собственно, остатком от деления a на b. Возможность и однозначность деления с остатком примем без доказательства. Ситуация r = 0, очевидно, равносильна делимости a на b. 1) Разделите с остатком: 43 на 15, 15 на 43, -1543 на 57. Фиксируем натуральное число b. Из определения следует, что существует ровно b различных остатков при делении на b: 0, 1, 2, . . . , b - 1. Все целые числа можно разбить на b классов, поместив в один класс те и только те числа, которые дают определённый остаток при делении на b. Числа из одного класса называют сравнимыми по модулю b. Это записывают так: m n(mod b). 2) Назовите какое-нибудь положительное и какое-нибудь отрицательное число, сравнимое с 111 по модулю 17. Напишите формулу для всех таких чисел. . 3) Докажите, что a b(mod c) тогда и только тогда, когда (a - b) . c. . 4) По какому модулю сравнимы 15 и 43? Остатки обладают следующим полезным свойством: остаток от деления суммы, разности или произведения двух чисел зависит только от остатков, даваемых этими числами. То есть, если нас интересует остаток от деления на b, мы можем все числа в любом примере на сложение, умножение и вычитание в любой момент и сколько угодно раз заменять другими, дающими тот же остаток. 5) Докажите это свойство. 6) Какой цифрой оканчивается число 4315 ? Иногда даже говорят, что сами остатки можно складывать, вычитать и умножать. То есть, раз всякое число, дающее при делении на 5 остаток 3 при умножении на любое число, дающее при делении на 5 остаток 4 даёт число, дающее остаток 2, то можно просто записать: (3) · (4) = (2)(mod 5). 7) Составьте "таблицу сложения" и "таблицу умножения" по модулю 5.
8) На какое число поделили число 102, если известно, что неполное частное совпало с остатком? 9) Выполните сложение, вычитание, умножение остатков по какому-нибудь модулю (подбирает модуль и сочиняет пример принимающий задачу :)). 10) Докажите, что число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3. 11) Докажите, что натуральное число и его сумма цифр сравнимы по модулям 3 и 9. 12) Треть числа поделили на его семнадцатую часть и получили в остатке 100. А какое получили неполное частное? Многие задачи легко решаются, если их "рассмотреть по какому-нибудь модулю". 13) Какие остатки дают точные квадраты при делении на 3? 4? 5? 10? 14) Натуральные числа x, y, z такие, что x2 + y2 = z 2 , называются пифагоровой тройкой. Докажите, что хотя бы одно из чисел, входящих в пифагорову тройку, делится на три. 15) Может ли число (m2 + m + 1)2 + (n2 + n + 1)2 быть точным квадратом? . 16) Докажите, что при всяком натуральном n (53n + 14n - 27n - 14) . 13. . 17) Последовательность задана так: a1 = a2 = 1, an+2 = an an+1 + 1. a) Докажите, что ни один член этой последовательности не делится на 4. б) Докажите, что если среди членов этой последовательности есть делящийся на k, то таких членов в ней бесконечно много. 18) Докажите, что уравнение 15x2 = 9 + 7y2 не имеет решений в целых числах. Уравнения, которые требуется решить в целых числах, называются диофантовыми в честь Диофанта Александрийского, древнегреческого математика, жившего в III веке до н. э. и оставившего выадющееся сочинение "Арифметика", в котором много места уделялось именно решению уравнений в целых числах. 19) Существуют ли такие числа x и y, что x3 + y3 = 10000000? 20) Одно и то же число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Остатки сложили, получилось 39. Какой был остаток при делении на 3?

Теория и разминка.

Остатки.

Листок 3.2, 10 ноября.

Задачи: