Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/pdc/2007/xtra/Grinshpon/research_plan_Grinshpon.pdf Дата изменения: Wed Oct 24 17:36:30 2007 Дата индексирования: Thu Jan 15 21:05:49 2009 Кодировка: Windows-1251

Топологии раздельной непрерывности
Гриншпон Яков Самуилович

План исследования
Введение.

При рассмотрении отображений многих переменных (т.е. отображений, заданных на декартовом произведении пространств) возникает два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в отдельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности переменных (совместная непрерывность). Топологии раздельной непрерывности X Y и X Y позволяют изучать раздельно непрерывные отображения как непрерывные отображения относительно этих топологий. Основные характеристические свойства этих топологий: для любых хаусдорфовых топологических пространств X , Y и Z отображение f : X Ч Y Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение f : X Y Z непрерывно; для любых вполне регулярных топологических пространств X , Y и Z пространство X Y вполне регулярно и отображение f : X Ч Y Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение f : X Y Z непрерывно. Данные топологии исследовались мало ([1], [2], [3]), особенно это касается более важной для приложений вполне регулярной топологии X Y . По мнению авторов статьи [2], имеющиеся результаты о пространстве X Y носят фрагментарный характер. Связано это с тем, что для топологии X Y , в отличие от топологии X Y , не удалось найти адекватного описания окрестности точки. Еще большие затруднения вызывает изучение подпространств EX Y и EX Y , где E e X Ч Y , так как их топологии зависят от того, в какие произведения они вложены, т.е. если E (X1 Ч Y1 ) (X2 Ч Y2 ), то EX1 Y1 = EX2 Y2 и EX1 Y1 = EX2 Y2 . e e

Проведенные исследования.
В [5] получен критерий, описывающий компактные, счетно компактные, секвенциально компактные и псевдокомпактные подпространства в топологиях раздельной непрерывности. Для любых точек a X и b Y обозначим cross(a, b) = { a, y ; y Y } { x, b ; x X }. Множество E X Ч Y назовем локально крестовым (сильно локально крестовым) в X Ч Y , если у каждой точки a, b E ( a, b X Ч Y ) существует окрестность U в пространстве EX ЧY (X Ч Y ) такая, что U cross(a, b) (U E cross(a, b)). Теорема. Пусть X и Y вполне регулярные пространства, E X ЧY и EX ЧY наследственно нормальное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) EX Y компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство; 2) EX Y компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) e пространство ; 3) EX ЧY компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и E сильно локально крестовое множество в X Ч Y ; 4) EX ЧY компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и E локально крестовое множество; 5) EX ЧY компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и существует конечный набор точек { c1 , d1 , c2 , d2 , . . . , cn , dn } E такой, что


E

n k=1

cross(ck , dk ).

Известно, что понятия типа компактности эквивалентны в метрических пространствах. Доказанная теорема позволяет приводить многочисленные примеры нерегулярных и регулярных не нормальных пространств (например, R R и R R), в которых совпадают все понятия типа компактности. Также из этой теоремы вытекает, что топологии раздельной непрерывности только в тривиальном случае, когда одно из сомножителей конечен, обладают свойствами типа компактности: Следствие. Пусть X и Y топологические пространства такие, что пространство X Ч Y является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X Y компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство; 2) X Y компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство; 3) одно из пространств X или Y является конечным, а второе - компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдокомпактным). Итак, топологии раздельной непрерывности практически никогда не обладают свойствами типа компактности. Естественно ослабить данные свойства до линделефовости и полноты по Чеху. Пусть X и Y топологические пространства. Отображение f : X Y назовем F-уплотнением, если f непрерывное отображение с конечными прообразами точек. Будем говорить, что пространство X F-уплотняется в пространство Y , если существует F-уплотнение f : X Y . Теорема. Пусть X и Y топологические пространства такие, что X F-уплотняется в Y и пространство X Ч Y является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X Y финально компактное пространство; 2) X Y линделефово пространство; 3) X счетное и Y линделефово пространства. Теорема. Пусть X и Y топологические пространства такие, что пространство X Ч Y является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X Y полное по Чеху пространство; 2) одно из пространств X или Y является дискретным, а второе полным по Чеху. Следующим шагом в исследовании топологий раздельной непрерывности являлось дальнейшее ослабление свойств типа компактности и рассмотрение свойств типа нормальности ([6]). Получено необходимое условие нормальности: Теорема. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное подпространство, которое F-уплотняется в пространство Y , и пусть пространство X Ч Y является совершенно нормальным. Тогда пространство X Y не является нормальным. Данная теорема позволяет приводить многочисленные примеры пар пространств X и Y , для которых произведение X Y не является нормальным. В частности, не будут нормальными пространства R R, [0; 1] R и A R, где R действительная прямая, [0; 1] действительный отрезок, A пространство "двух стрелок". Также получено и достаточное условие коллективной нормальности: Теорема. Пусть X разреженный наследственный паракомпакт, Y паракомпакт. Тогда


пространство X Y коллективно нормально. Эти результаты приводят к формулировке критерия нормальности пространства X Y для некоторого класса пространств X и Y , включающего в себя, в частности, все полные метрические пространства. Теорема. Пусть пространство X Ч Y является совершенно нормальным, и пусть полный по Чеху наследственный паракомпакт X F-уплотняется в паракомпактное пространство Y . Тогда следующие условия эквивалентны: 1) X Y нормальное пространство; 2) X разреженное пространство; 3) пространство X не содержит подмножеств, совершенно отображающихся на [0; 1]. Видно, что свойство нормальности совпадает для стандартной топологии X ЧY и для топологии раздельной непрерывности X Y в случае, когда сомножители X и Y являются разреженными наследственными паракомпактами. Поэтому вызывает интерес исследование нормальности на произведении ординалов, как на разреженных непаракомпактных пространствах. В [7] получены результаты (через cf обозначена конфинальность ординала ): Теорема. Пусть cf > и ч > . Тогда пространство [0; ) [0; ч) не является нормальным. Теорема. Пусть cf = 1 и ч 1 . Тогда пространство [0; )[0; ч) не является нормальным. Теорема. Пусть ординал и счетный ординал. Тогда пространство [0; ) [0; ) является коллективно нормальным. Итак, свойство нормальности для топологий раздельной непрерывности является более редким по сравнению со стандартной топологией произведения и на произведении ординалов. Например, пространство [0; 1 ) Ч [0; 1 ) нормально, а пространство [0; 1 ) [0; 1 ) не нормально Также отличаются свойства типа нормальности для произведений подпространств пространств ординалов. Теорема. Пусть A [0; 1 ) и B [0; 1 ). Тогда пространство A B является нормальным тогда и только тогда, хотя бы одно из множеств A или B нестационарно. Приведенные результаты иллюстрируют, что существует тесная связь между нормальностью топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов и счетностью сомножителя. Наиболее выразительно это проявляется при рассмотрении в качестве одного из сомножителей ординала 1 . Теорема. Пусть ч ординал. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) пространство [0; 1 ) [0; ч) коллективно нормально; 2) пространство [0; 1 ) [0; ч) коллективно нормально; 3) пространство [0; 1 ) [0; ч) нормально; 4) пространство [0; 1 ) [0; ч) нормально; 5) ординал ч счетен. Также исследована счетная слабая паракомпактность пространства [0; ) [0; ч) ([8]). Теорема. Пусть ординал и счетный ординал. Тогда пространство [0; ) [0; ) является наследственно счетно слабо паракомпактным. Теорема. Пусть cf = 1 и ч . Тогда пространство [0; ) [0; ч) не является счетно слабо паракомпактным.


Теорема. Пространство [0; 1 ) [0; 1 ) \ { , ; < 1 } является наследственно счетно
слабо паракомпактным. Другими словами, в случае счетности одного из ординалов, их произведение с топологией раздельной непрерывности является счетно слабо паракомпактным, а пространство [0; 1 ) [0; 1 ) уже не обладает таким свойством. Однако в этом пространстве существует достаточно большое наследственно счетно слабо паракомпактное подпространство.

Проект будущих исследований.
Планируется продолжить изучение свойства нормальности и его усилений для пространства X Y . Во-первых, желательно усилить необходимое условие нормальности так, чтобы оно не содержало условия совершенной нормальности пространства X Ч Y . Теорема. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное совершенно нормальное подпространство, которое F-уплотняется в пространство Y . Тогда пространство X Y не является нормальным. Этот ожидаемый результат позволяет дать отрицательный ответ на вопрос о нормальности пространства A A. Во-вторых, соискателю кажется, что для топологии раздельной непрерывности будет верен следующий аналог знаменитой теоремы Даукера: Теорема. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное совершенно нормальное подпространство, которое F-уплотняется в пространство Y . Пространство X N является нормальным тогда и только тогда, когда X нормальное счетно паракомпактное пространство. Здесь через N обозначена одноточечная компактификация счетного дискретного пространства. Из доказанных пока результатов следует, что класс пространств X , для которых произведение X N нормально, строго уже класса непаракомпактных пространств и шире класса нормальных не счетно паракомпактных пространств. В-третьих, необходимо закончить исследование нормальности топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. Например, открытыми остаются вопросы о нормальности пространств [0; 1 ] [0; 1 ] и [0; 2 ) [0; 2 ). В-четвертых, кроме уже полученного достаточного условия коллективной нормальности, ставится задача доказать достаточные условия для других усилений нормальности, в частности, для наследственной нормальности и для паракомпактности. Еще одним полезным направлением было бы вычисление кардинальных инвариантов для пространства X Y , например, плотности, веса, характера, псевдохарактера, сетевого веса, тесноты, числа Суслина, числа Линделефа и других. Кроме топологий раздельной непрерывности X Y и X Y планируется ввести и исследовать и другие схожие топологии. Например, требуя, чтобы функция f : X ЧX Z была непрерывной не только по каждой из переменных, но и на диагонали, получим топологии диагональной непрерывности X d X и X d X . Если же рассматривать функции f : X Ч Y Z , где X и Y линейные топологические пространства, непрерывные вдоль каждого аффинного преобразования пространства X на пространство Y , то получим топологии линейной непрерывности X l Y и X l Y . Отметим, что все уже полученные и только ожидаемые результаты, скорее всего, можно будет модифицировать и для топологий X d X , X d X , X l Y и X l Y .


Соискатель надеется, что все эти исследования помогут ему в изучении пространств раздельно непрерывных функций S C (X, Y ), пространств диагонально непрерывных функций DC (X, X ) и пространств линейно непрерывных функций LC (X, Y ). Пространства раздельно, диагонально и линейно непрерывных функций, в отличие от пространств непрерывных функций, почти не изучались до сих пор. Однако используя изучаемые в работе топологии можно записать формулы S C (X, Y ) = C (X Y ) = C (X Y ), DC (X, X ) = C (X d X ) = C (X d Y ) и LC (X, Y ) = C (X l Y ) = C (X l Y ), которые позволят свести исследование этих пространств к исследованию хорошо изученных пространств непрерывных функций. Особое внимание планируется обратить на пространство раздельно непрерывных функций, так как с ним связаны две чрезвычайно важные проблемы: классификация компактов и изучение тройственности. В [4] С. П. Гулько и Г. А. Соколов ввели понятия SC-компакта, как компакта, который можно вложить в пространство раздельно непрерывных функций, заданных на произведении произвольного компакта и компакта со свойством Суслина, с топологией поточечной сходимости. Это новый класс компактов, строго меньший класса компактов Корсона и строго больше класса компактов Гулько. Свойства S C -компактов практически не изучены, например, открыт вопрос об инвариантности этого класса относительно непрерывных образов. Также в [4] с помощью пространства раздельно непрерывных функций вводится понятие тройственности. Известно, что в функциональном анализе понятие двойственности играет ключевую роль при изучении пространств функций. Поэтому можно ожидать, что изучение тройственных пространств откроет широкие перспективы для исследования соотношения между различными топологическими свойствами, в первую очередь, между свойствам Суслина и Шанина.

Преподавательский опыт и педагогические планы.
Соискатель ведет практические занятия и читает лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и математической статистике для студентов Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). Им разработан курс лекций для студентов вечерней и заочной форм обучения, учитывающий специфику этих форм обучения. Для студентов дневного отделения подготовлено учебное пособие "Математика для выравнивающих курсов ТУСУР", позволяющее им повторить курс элементарной математики самостоятельно или на специальных выравнивающих курсах. Готовится аналогичное пособие для школьников, желающих повысить уровень своей математической подготовки и успешно поступить в ВУЗ. Также сосискатель принимает участие в работе с одаренными школьниками и студентами. Он осуществляет подготовку команды ТУСУР к Региональной предметной олимпиаде по математике. Регулярно проводит факультативные занятия в Летнем и Воскресном отделениях Физико-математической школы при Томском госуниверситете. Входит в состав жюри по математике Городских школьных предметных олимпиад. Является научным руководителем школьников, участвующих в математических конференциях, а также осуществляет руководство Математическим обществом школы 1 города Томска.

Библиография
1. Knight C. J., Moran W., Pym J. S. The topologies of separate continuity. I. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1970. 68. P. 663671.


2. Knight C. J., Moran W., Pym J. S. The topologies of separate continuity. II. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1972. 71. P. 307319. 3. Hart J. E., Kunen K. On the regularity of the topology of separate continuity. // Topology and its Applications. 2002. 123. P. 103123. 4. Gul'ko S. P., Sokolov G. A. Compact spaces of separately continuous functions in two variables// Topology and its Applications. 2000. Vol. 107. P. 8996. 5. Гриншпон Я. С. Локально крестовые множества в топологиях раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". Томск: Изд-во Томского университета, 2005. 290. С. 1823. 6. Grinshpon Ya. S. Criterion of normality of the completely regular topology of separate continuity. // Serdica Mathematical Journal. 2006. 32. P. 5762. 7. Гриншпон Я. С. Нормальность топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации "Актуальные проблемы алгебры и анализа". Томск: Изд-во Томского университета, 2005. 54. 8. Гриншпон Я. С. Счетная паракомпактность топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. // Труды XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: Изд-во Московского университета, 2006. С. 2630.