Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/pdc/2005/reports/Kuznetsov_rep2008.pdf Дата изменения: Sat Dec 27 15:40:34 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 19:02:03 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п

ОТЧЕТ ПО ГРАНТУ ПЬЕРА ДЕЛИНЯ ЗА 2008 ГОД
АЛЕКСАНДР КУЗНЕЦОВ

·

Результаты, полученные в 2008 году: (1) Построение замкнутой (2n-4)-формы на многоо бразии прямых на (2n-2)-мерной гиперповерхности степени n в проективном пространстве (совместно с Д.Маркушевичем и Л.Манивелем). (2) Описание производных категорий четырехмерных кубик, содержащих плоскость. (3) Сравнение производных категорий трехмерных многоо бразий Фано индекса 1 и индекса 2. · Публикации: (1) Derived categories of quadric brations and intersections of quadrics, Advances in Mathematics, V. 218 (2008), N. 5, 1340-1369. (2) Exceptional col lections for Grassmannians of isotropic lines, Proceedings of the London Mathematical Society, V. 97 (2008), N. 1, 155-182. (3) Lefschetz decompositions and categorical resolutions of singularities, Selecta Mathematica, V. 13 (2008), N. 4, 661-696. (4) Derived categories of cubic fourfolds, принята к публикации в сборнике \Rationality problems" (editors F.Bogomolov and Yu.Tschinkel), Progress in Mathematics. (5) Производные категории трехмерных многообразий Фано, принята к публикации в Трудах МИАН. · Препринты: (1) Abel-Jacobi maps for hypersurfaces and non commutative Calabi-Yau's, preprint math.AG/0806.1154 (joint work with L. Manivel and D. Markushevich). · Конференции: (1) Derived categories of Fano 3-folds, \Workshop on Homological Mirror Symmetry and Related Topics", University of Miami, January 21{26, 2008. (2) Derived categories of Fano 3-folds, \Bundles, gerbes and derived categories in string theory", University of Salamanca, May 14-16, 2008.
1


(3) Derived categories and rationality of cubic fourfolds, 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, July 14-18, 2008. (4) Derived categories of Fano 3-folds, 60 Miles | a meeting to celebrate Miles Reid's sixtieth birthday, London, July 16-18, 2008. (5) Exceptional col lections on S Gr(2; 2n) and OGr(2; 2n + 1), \Exceptional collections and degenerations of varieties", Tokyo, September 1{5, 2008. · Преподавание: (1) Спецкурс \Гомологическая алге бра" НОЦ{НМУ, осенний семестр 2008.

Итоги работы за 2006{2008 годы
· ·

·

· ·

· · ·

Разработана теория гомологической проективной двойственности (см. [1, 2]). Гомологическая проективная двойственность описана для послойно линейно вложенных расслоений на проективные пространства [2], двукратных вложений Веронезе [4], и грассманианов прямых [7]. Введено понятие категорного разрешения осо бенностей и приведен спосо б построения таких разрешений исходя из о бычного разрешения и лефшецева разложения исключительного дивизора [6]. Разработана теория замены базы для полуортогональных разложений [9]. Определена компонента Гриффитса производной категории и показана ее инвариантность относительно бирациональных прео бразований (по модулю корректности определения) [11]. Вычислена компонента Гриффитса производной категории четырехмерных кубик содержащих плоскость [12]. Описаны производные категории трехмерных многоо бразий Фано индекса 1 и 2 [13]. Построены исключительные наборы в производных категориях грассманианов изотропных прямых [5].

К сожалению, пока не получилось проверить корректность определения компоненты Гриффитса. Также не удалось получить конструкцию гомологически проективно двойственного многоо бразия как подходящего многоо бразия модулей на исходном многоо бразии и доказать гипотезу о связи производных категорий трехмерных многоо бразий Фано разных индексов.


Список публикаций за 2006-2008 годы
[1] Hyperplane sections and derived categories, Izvestiya RAN: Ser. Mat. 70:3 (2006) p. 23{128 (in Russian); translation in Izvestiya: Mathematics 70:3 (2006) p. 447{547. [2] Homological projective duality, Publications Mathematiques de L'IHES, 105, n. 1 (2007), 157-220. [3] Quiver varieties and Hilbert schemes, Moscow Mathematical Journal, Volume 7 (2007), Number 4. [4] Derived categories of quadric brations and intersections of quadrics, Advances in Mathematics, V. 218 (2008), N. 5, 1340-1369. [5] Exceptional col lections for Grassmannians of isotropic lines, Proceedings of the London Mathematical Society, V. 97 (2008), N. 1, 155-182. [6] Lefschetz decompositions and categorical resolutions of singularities, Selecta Mathematica, V. 13 (2008), N. 4, 661-696. [7] Homological projective duality for Grassmannians of lines, preprint math.AG/0610957. [8] Symplectic structures on moduli spaces of sheaves via the Atiyah class, preprint math.AG/0703264 (joint work with D. Markushevich). [9] Base change for semiorthogonal decompositions, preprint math.AG/0711.1734. [10] Abel-Jacobi maps for hypersurfaces and non commutative Calabi-Yau's, preprint math.AG/0806.1154 (joint work with L. Manivel and D. Markushevich). [11] Derived categories and rationality of cubic fourfolds, talk at 5-th European Congress of Mathematics, to appear in Proceedings. [12] Derived categories of cubic fourfolds, preprint math.AG/0808.3351; to appear in \Rationality problems" (editors F.Bogomolov and Yu.Tschinkel), Progress in Mathematics. [13] Derived categories of Fano threefolds, preprint math.AG/0809.0225; to appear in Proceedings of Steklov Math Institute.