Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/oluch/Zaoch_11_usl.doc Дата изменения: Thu Jan 6 20:42:40 2011 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:15 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: orion nebula

VI Зао?ный конкурс у?ителей по математике.
I. Решите зада?и.
?1. На рынке продавали раков: больших - по 5 рублей, маленьких - по 3
рубля, а также жаб - по рублю. Иван и Степан купили себе раков на
одинаковые суммы денег, при?ем Иван купил больших и маленьких раков
поровну, а Степан - вдвое меньше больших раков, ?ем маленьких. Иван
расплатился одной сторублевой купюрой, а Степан - несколькими
десятирублевыми. У продавца не оказалось мелких денег, поэтому он выдал
сда?у Ивану опять же раками, а Степану - жабами. Сколько всего животных
унесли приятели с рынка?

?2. В стране 2011 городов. Какое наименьшее коли?ество авиалиний
потребуется, ?тобы из любого города добраться в любой другой, делая не
более двух пересадок?

[pic]
?3. В основании пирамиды РАВСD расположен ?етырехугольник АВСD, в котором
АВ = ВС = 6, (АВС = 60(, (BСD = (DАС = 30?. Каждая боковая грань пирамиды
образует с плоскостью основания угол 45?. Найдите объем пирамиды.

?4. Докажите, ?то для любых действительных ?исел а, b и c выполняется
неравенство: |a| + |b| + |c| + |a + b + c| ( |a + b| + |b + c| + |c + a|.

?5. Даны три попарно пересекающиеся окружности, в которых последовательно
соединены то?ки их попарного пересе?ения. Длины полу?ившихся хорд равны a,
b, c, d, e и f (см. рисунок). Найдите и обоснуйте равенство, связывающее
между собой данные длины хорд.

II. Методи?еский блок.
В предложенных текстах (?6 и ?7) могут содержаться математи?еские ошибки
(как в 'ответах', так и в 'решениях'). Укажите все ошибки и если 'решение'
не верно, то приведите верное решение.
?6. 'Зада?а'. Рассматриваются все треугольники АВС, у которых фиксированы
длина стороны АВ и сумма длин двух других сторон. У какого из этих
треугольников высота, проведенная к стороне АВ, имеет наибольшую длину?
'Ответ': такого треугольника не существует.
'Решение'. Так как SABC = [pic]AB(h и длина АВ - фиксирована, то высота h
имеет наибольшую длину, если SABC - принимает наибольшее зна?ение.
Поскольку SABC = рr и полупериметр р данного треугольника зафиксирован, то
SABC - наибольшая, если наибольшее зна?ение принимает радиус r окружности,
вписанной в данный треугольник. Но [pic], зна?ит, r принимает наибольшее
зна?ение при наибольшем зна?ении тангенса указанного угла.
Угол ( = [pic] < 90(, функция tg( на промежутке (0; 90() возрастает от 0
до +(, то есть наибольшего зна?ения тангенса не существует, зна?ит и
треугольника с наибольшей длиной высоты также не существует.

?7. 'Зада?а'. Два артиллериста стреляют по воробью. Один попадает с
вероятностью 0,2, другой - с вероятностью 0,6. В результате залпа из двух
пушек в цель попал только один снаряд. Какова вероятность того, ?то
промахнулся первый артиллерист?
'Ответ': [pic].
'Решение'. Первый артиллерист промахивается с вероятностью 0,8, а второй -
с вероятностью 0,4. Поэтому вероятность промаха первого в два раза выше,
?ем промаха второго. Поскольку в цель попал только один снаряд, то сумма
вероятностей промахов первого и второго равна 1. Следовательно, первый
промахнулся с вероятностью [pic].

?8. В самостоятельной работе для 10 класса было дано следующее
дополнительное задание: 'Найдите все зна?ения x, для которых выполняется
равенство arctg(x-1) = arcctgx'. У?итель полу?ил ?етыре разли?ных решения,
которые приведены ниже.
Оцените каждое из решений (верное оно или нет, какие есть ошибки и
недо?еты).
1) Решение Коли. Найдем тангенсы от каждой ?асти равенства: [pic]; [pic] =
[pic] = [pic]. Зна?ит, исходное равенство выполняется при всех зна?ениях x,
кроме нуля.
2) Решение Оли. Найдем котангенсы от каждой ?асти равенства: [pic] = [pic]
= x; [pic] = x. Зна?ит, исходное равенство выполняется при всех зна?ениях
x.
3) Решение Саши. Так как [pic], а [pic] = [pic] = [pic] не существует
(выражение [pic] не имеет смысла), то равенство не выполняется ни при каких
зна?ениях x.
4) Решение Маши. Заметим сна?ала, ?то x ( 0. Воспользуемся затем
определениями обратных тригонометри?еских функций. Пусть arctg(x-1) = (,
тогда tg( = [pic], где -[pic] < ( < [pic]; arcctgx = (, тогда ctg( = x, где
0 < ( < (. Следовательно, сtg( = x = ctg(. Так как на промежутке (0; ()
функция котангенс убывает, то каждое свое зна?ение она принимает только при
одном зна?ении аргумента, то есть ( = (. Зна?ит, исходное равенство верно
при всех зна?ениях x, кроме нуля.

?9. В разли?ных школьных у?ебниках последовательность изу?ения тем
разли?на. Это, в ?астности, касается отдельных тем первого раздела
стереометрии 'Параллельность и перпендикулярность в пространстве'. В
некоторых у?ебниках сна?ала изу?ается параллельность прямой и плоскости,
затем - параллельность плоскостей, после ?его - перпендикулярность прямой и
плоскости и перпендикулярность плоскостей. В других - сна?ала
перпендикулярность, а затем - параллельность (при этом параллельность
плоскостей предшествует параллельности прямой и плоскости).
Сделайте обзор последовательности изу?ения этих тем и их приложений,
рассмотрев как можно больше школьных у?ебников (в том ?исле, для
профильного и углубленного изу?ения), и оцените с методи?еской то?ки зрения
'плюсы и минусы' каждой из этих систем изложения материала.