Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/oluch/zaoch_11_usl.htm
Дата изменения: Sun Jan 16 17:21:54 2011
Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:06 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п
VI Заочный конкурс учителей по математике

VI Заочный конкурс учителей по математике.

I. Решите задачи.

N1. На рынке продавали раков: больших – по 5 рублей, маленьких – по 3 рубля, а также жаб – по рублю. Иван и Степан купили себе раков на одинаковые суммы денег, причем Иван купил больших и маленьких раков поровну, а Степан – вдвое меньше больших раков, чем маленьких. Иван расплатился одной сторублевой купюрой, а Степан – несколькими десятирублевыми. У продавца не оказалось мелких денег, поэтому он выдал сдачу Ивану опять же раками, а Степану – жабами. Сколько всего животных унесли приятели с рынка?

N2. В стране 2011 городов. Какое наименьшее количество авиалиний потребуется, чтобы из любого города добраться в любой другой, делая не более двух пересадок?

N3. В основании пирамиды РАВСD расположен четырехугольник АВСD, в котором АВ = ВС = 6, угол АВС равен 60° , угол BСD равен углу DАС и равен 300. Каждая боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол 45o. Найдите объем пирамиды.

N4. Докажите, что для любых действительных чисел а, b и c выполняется неравенство: |a| + |b| + |c| + |a + b + c| ³ |a + b| + |b + c| + |c + a|.

N5. Даны три попарно пересекающиеся окружности, в которых последовательно соединены точки их попарного пересечения. Длины получившихся хорд равны a, b, c, d, e и f (см. рисунок). Найдите и обоснуйте равенство, связывающее между собой данные длины хорд.

II. Методический блок.

В предложенных текстах (N6 и N7) могут содержаться математические ошибки (как в "ответах", так и в "решениях"). Укажите все ошибки и если "решение" не верно, то приведите верное решение.

N6. "Задача". Рассматриваются все треугольники АВС, у которых фиксированы длина стороны АВ и сумма длин двух других сторон. У какого из этих треугольников высота, проведенная к стороне АВ, имеет наибольшую длину?

"Ответ": такого треугольника не существует.

"Решение". Так как SABC = AB× h и длина АВ – фиксирована, то высота h имеет наибольшую длину, если SABC – принимает наибольшее значение. Поскольку SABC = рr и полупериметр р данного треугольника зафиксирован, то SABC – наибольшая, если наибольшее значение принимает радиус r окружности, вписанной в данный треугольник. Но , значит, r принимает наибольшее значение при наибольшем значении тангенса указанного угла.

Угол a = < 90° , функция tga на промежутке (0; 90° ) возрастает от 0 до плюс бесконечности, то есть наибольшего значения тангенса не существует, значит и треугольника с наибольшей длиной высоты также не существует.

N7. "Задача". Два артиллериста стреляют по воробью. Один попадает с вероятностью 0,2, другой – с вероятностью 0,6. В результате залпа из двух пушек в цель попал только один снаряд. Какова вероятность того, что промахнулся первый артиллерист?

"Ответ": .

"Решение". Первый артиллерист промахивается с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,4. Поэтому вероятность промаха первого в два раза выше, чем промаха второго. Поскольку в цель попал только один снаряд, то сумма вероятностей промахов первого и второго равна 1. Следовательно, первый промахнулся с вероятностью .

N8. В самостоятельной работе для 10 класса было дано следующее дополнительное задание: "Найдите все значения x, для которых выполняется равенство arctg(x–1) = arcctgx". Учитель получил четыре различных решения, которые приведены ниже.

Оцените каждое из решений (верное оно или нет, какие есть ошибки и недочеты).

1) Решение Коли. Найдем тангенсы от каждой части равенства: ; = = . Значит, исходное равенство выполняется при всех значениях x, кроме нуля.

2) Решение Оли. Найдем котангенсы от каждой части равенства: = = x; = x. Значит, исходное равенство выполняется при всех значениях x.

3) Решение Саши. Так как , а = = не существует (выражение не имеет смысла), то равенство не выполняется ни при каких значениях x.

4) Решение Маши. Заметим сначала, что x не равен нулю. Воспользуемся затем определениями обратных тригонометрических функций. Пусть arctg(x–1) = a , тогда tga = , где – < a < ; arcctgx = b , тогда ctgb = x, где 0 < b < p . Следовательно, сtga = x = ctgb . Так как на промежутке (0; p ) функция котангенс убывает, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, то есть a = b . Значит, исходное равенство верно при всех значениях x, кроме нуля.

N9. В различных школьных учебниках последовательность изучения тем различна. Это, в частности, касается отдельных тем первого раздела стереометрии "Параллельность и перпендикулярность в пространстве". В некоторых учебниках сначала изучается параллельность прямой и плоскости, затем – параллельность плоскостей, после чего – перпендикулярность прямой и плоскости и перпендикулярность плоскостей. В других – сначала перпендикулярность, а затем – параллельность (при этом параллельность плоскостей предшествует параллельности прямой и плоскости).

Сделайте обзор последовательности изучения этих тем и их приложений, рассмотрев как можно больше школьных учебников (в том числе, для профильного и углубленного изучения), и оцените с методической точки зрения "плюсы и минусы" каждой из этих систем изложения материала.