Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/mmks/dec10/bolbachan_report.pdf Дата изменения: Thu Dec 16 19:05:50 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 13:41:27 2012 Кодировка: Windows-1251

Теорема о замыкании
В. Болбачан 6 декабря 2010 г.

1

Результаты

Существует несколько простых геометрических фактов, иллюстрируемых красивыми картинками(см. рис.). Обобщением этой закономерности является следующий результат:
Теорема 1.1. Дана последовательность
кая, что для любого

(a1 , ..., a

2m ),

k {1, 2, . . . , n} X OY
и дано

в множестве

ai {1, . . . , n} та{i | ai = k } количе-

ство четных и нечетных чисел одинаково. Пусть на плоскости задана

l1 , l2 , . . . , ln не паралельных координатным осям, пересекающихся в точке O . Пусть x1 la1 , x1 = O . Если точка xs постороена, то точка xs+1 строится как точка пересечения прямой las+1 с прямой проходящей через точку xs паралельно прямой O X , если s четно и O Y , если s нечетно. Тогда x1 = x2m+1 .
система координат прямых

n

Похожее утверждение было сформулировано в [?]. Другие теоремы о замыкании приведены в [?],[?].

X OY . Замкнутой молнией называется последовательность из 2N точек A1 , A2 , . . . , A2N , такая что отрезки A1 A2 , A3 A4 , . . . , A2N -1 A2N паралельны оси O X , а отрезки A2 A3 , A4 A5 , . . . , A2N A1 паралельны оси O Y .
Теорема 1.2. На плоскости нарисованы пять попарно непаралельных
отрезков с общей вершиной, не паралельных координатным осям. Тогда их объеденение содержит замкнутую молнию. Замечание.

Пусть на плоскости введена система координат

По-видимому Теорема 1.2 верна и для случая когда, неко-

торые из отрезков паралльны координатным осям. 1


2
ось

Доказательства
OY
. Пусть прямые li задаются уравнениеями Обозначим через yi проекцию точки xi на y = ki x. Тогда yi+1 =
i для четного i. Поэтому k k i для нечетного

Доказательство Теоремы 1.1.

kai+1 y kai

i

и

yi

+1

=y

y

2m

=

ak2 a ћ ak1 a

4 3

...

ak 2 m y1 = y ak2m-1

1

Последнее равенства верно, так как каждое число в числителе встречается столько же раз сколько в знаменателе. Следовательно

y

2m

=

y

1.

Доказательство Теоремы 1.2.

Для доказательства теоремы достаточно

показать, что объеденение пяти различных лучей с общей вершиной содержит замкнутую молнию. Будем считать,что общая вершина лучей совпадает с началом координат. Если лучи не паралельны координатным осям, то возможны только следующие 4 случая. Обозначим для луча 1.

l

через

l

прямую содержащую этот луч.

Пусть эти лучи суть l1 , l2 , l3 . Применим Теорему 1.1 к последовательности (3, 1, 2, 3, 1, 2), прямым l1 , l2 , l3 и точке a1 l3 . Так как все три луча расположены в одной четверти, то
Три луча находятся в одно четверти.

прямая, паралельная координатной оси пересекающая один из лучей, пересекает все остальные. Поэтому все точки замкнутой молнии лежат на лучах l1 , l2 , l3 . QED Обозначим череp ралельную оси

n(l)

номер четверти в которой находится луч l. По-

нятно, что если взять точку

x l1

и провести через нее прямую па-

OX то она пересечет луч l2 тогда и только тогда когда {n(l1 ), n(l2 )} M1 = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {3, 4}}. Точно также если взять точку x l1 и провести через нее прямую паралельную оси O Y то она пересечет луч l2 тогда и только тогда когда {n(l1 ), n(l2 )} M2 = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 4}, {2, 3}}.
2.
Четыре отрезка находятся по два в двух смежных четвертях.

Пусть эти лучи суть l1 , l2 , l3 , l4 . Будем считать, что n(l1 ) n(l4 ) = 4. Применем Теорему 1.1 к последовательности

= n(l2 ) = 1, n(l3 ) = (3, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 4), прямым l1 , l2 , l3 , l4 и точке A1 l3 . Имеем {n(l3 ), n(l1 )} = {1, 4} M2 ; {n(l1 ), n(l2 )} = {1} M1 ; {n(l2 ), n(l3 )} = {1, 4} M2 ; {n(l3 ), n(l4 )} = {4} M1 ; {n(l4 ), n(l2 )} = {1, 4} M2 ; {n(l2 ), n(l1 )} = {1} M1 ; {n(l1 ), n(l4 )} = {1, 4} M2 ; {n(l4 ), n(l3 )} = {4} M1 . Следовательно все точки лежат на лучах l1 , l2 , l3 , l4 . QED
2


3.

Четыре луча находятся по два в двух несмежных четвертях и

еще один луч в четверти смежной к двум данным.

Пусть эти лучи

суть l1

, l2 , l3 , l4 , l5 . Будем считать, что n(l1 ) = n(l2 ) = 1, n(l3 ) = 2, n(l4 ) = n(l5 ) = 3. Применем Теорему 1.1 к последовательности (1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 5, 4, 3), прямым l1 , l2 , l3 , l4 , l5 и точке A1 l1 . Имеем {n(l1 ), n(l2 )} = {1} M2 ; {n(l2 ), n(l3 )} = {1, 2} M1 ; {n(l3 ), n(l4 )} = {2, 3} M2 ; {n(l4 ), n(l5 )} = {3} M1 ; {n(l5 ), n(l3 )} = {2, 3} M2 ; {n(l3 ), n(l2 )} = {1, 2} M1 ; {n(l2 ), n(l1 )} = {1} M2 ; {n(l1 ), n(l3 )} = {1, 2} M1 ; {n(l3 ), n(l5 )} = {2, 3} M2 ; {n(l5 ), n(l4 )} = {3} M1 ; {n(l4 ), n(l3 )} = {2, 3} M2 ; {n(l3 ), n(l1 )} = {1, 2} M1 . Следовательно все точки лежат на лучах l1 , l2 , l3 , l4 , l5 . QED
4.
лучу. В одной четверти находится два луча, а в оставшихся по одному

Пусть эти лучи суть l1 , l2 , l3 , l4 , l5 . Будем считать, что n(l1 ) = n(l2 ) = 1, n(l3 ) = 2, n(l4 ) = 3, n(l5 ) = 4. Применем Теорему 1.1 к последовательности (5, 1, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 3, 4), прямым l1 , l2 , l3 , l4 , l5 и точке A1 l5 . Имеем: {n(l5 ), n(l1 )} = {1, 4} M2 ; {n(l1 ), n(l2 )} = {1} M1 ; {n(l2 ), n(l5 )} = {1, 4} M2 ; {n(l5 ), n(l4 )} = {3, 4} M1 ; {n(l4 ), n(l3 )} = {2, 3} M2 ; {n(l3 ), n(l1 )} = {1, 2} M1 ; {n(l1 ), n(l2 )} = {1} M2 ; {n(l2 ), n(l3 )} = {1, 2} M1 ; {n(l3 ), n(l4 )} = {2, 3} M2 ; {n(l4 ), n(l5 )} = {3, 4} M1 ;. Следовательно все точки лежат на лучах l1 , l2 , l3 , l4 , l5 . QED

Список литературы
[1] Бляшке В. (Blaschke W.) Введение в геометрию тканей, М.: Г И Ф М Л 1959.- 144 с. [2] Олимпиада им. Шарыгина, 2006 год, 10 класс, задача 1. [3] Гильберт, Кон-Фоссен, Наглядная геометрия.
Василий Болбачан, СУНЦ МГУ e-mail: ys93@bk.ru

3