| | |
| 2003
Осенний семестрЛекция 4 октября
Лектор: Спивак А.В.
Тема: Длины биссектрис треугольника
Легко построить треугольник по длинам трёх его медиан. Необходимым и достаточным
условием существования треугольника с заданными длинами медиан ma,
mb и mc являются неравенства треугольника ma < mb+mc,
mb < ma+mc и
mc < ma+mb.
Чуть сложнее построить треугольник по длинам его высот.
Необходимым и достаточным условием существования такого треугольника
являются неравенства треугольника на числа 1/ha, 1/hb и 1/hc.
Задача о восстановлении треугольника по длинам его биссектрис намного труднее
и интереснее. Решена она была совсем недавно. (На русском языке это впервые
опубликовано в первом номере "Кванта" за 2003 год; после лекции слушателям
будет предоставлена возможность ознакомиться с этим номером журнала.)
Оказывается, никаких ограничений на длины биссектрис нет! Более того,
для любых трёх отрезков существует и единственен треугольник именно с такими
длинами биссектрис. А вот циркулем и линейкой построить треугольник
по длинам его биссектрис нельзя!
Наверх Лекция 11 октября
Лектор: Богатый С.А.
Тема: Теорема Эрдеша-Морделла-Барроу
В 1935 году Пауль Эрдёш высказал гипотезу, которую
доказали в 1937 году независимо Морделл и Барроу:
для всякой точки M внутри заданного треугольника
сумма расстояний от нее до вершин не менее удвоенной суммы расстояний
от точки до сторон треугольника, причём равенство имеет место тогда и
только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.
Барроу доказал и более сильный результат:
для любого треугольника ABC и для любой взятой внутри него точки M
сумма проведённых из точки M биссектрис треугольников ABM, BCM и CAM
не превосходит половины длин отрезков AM, BM и CM, причём причём
равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник
равносторонний и точка M — его центр.
К настоящему времени известно много доказательств гипотезы Ердеша и ее
обобщений. Например, можно суммировать не длины биссектрис,
а длины проведённых из точки M медиан, а можно складывать и длины отрезки
чевиан, то есть длины отрезков A'M, B'M и C'M, где
точка A' — пересечение прямой MA с отрезком BC, а точки B' и
C' определены аналогично.
Есть и аналогичные стереометрические задачи. Например, для любого тетраэдра
и точки, расположенной внутри него, сумма расстояний от этой точки до
граней тетраэдра не менее чем в 23/2 раз меньше суммы расстояний
от этой точки до вершин тетраэдра.
Многие теоремы будут даны без доказательства. Будет сформулировано
много нерешённых задач.
Наверх Лекция 18 октября
Лектор: Прасолов В.В.
Тема: Задачи московских математических олимпиад
На лекции будут разобраны шесть задач первых олимпиад:
- На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под
наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ
видна под б`ольшим углом, чем из найденных.
- Сколькими различными способами можно представить 1,000,000 в виде
произведения трёх натуральных чисел? Произведения, отличающиеся
лишь порядком сомножителей, считаются тождественными.
-
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью
сферами?
-
В каком из выражений:
(1-x2+x3)1000
и (1+x2-x3)1000
после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при
x20?
-
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100,
удовлетворяющих условиям:
a1-3a2+2a3 >= 0,
a2-3a3+2a4 >= 0,
a3-3a4+2a5 >= 0,
...
a99-3a100+2a1 >= 0,
a100-3a1+2a2 >= 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.
- Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют
условиям
C12+C22+ ... +C1002 > 10000,
C1+C2+ ... +C100 < 300.
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.
Будут разобраны ещё и некоторые другие задачи более поздних олимпиал.
Наверх Лекция 25 октября
Лектор: Токарев С.И.
Тема: Задачи журнала "Математика в школе"
Журнал "Математика в школе" учреждён Народным комиссариатом просвещения РСФСР
в 1934 году. С момента основания в журнале есть Отдел задач.
Проводится ежегодный конкурс .решальщиков., причём в каждом номере журнала
подводятся промежуточные итоги. Задачи решают учителя, школьники (в том числе
шестиклассники), вузовские преподаватели (в том числе профессора). На лекции
будут разобраны 10 опубликованных в последние годы задач: 2 трудные задачи,
3 задачи средней трудности и 5 лёгких.
Трудные задачи.
1. С парой натуральных чисел (m;n) можно прооделывать следующее:
заменить её на пару (2m;n + 1) или на пару
(m + 1;2n). Верно ли, что из любой
начальной пары с помощью таких операций можно получить пару одинаковых чисел?
2. Докажите, что для любого треугольника его вписанная окружности, окружность
девяти точек (то есть окружность, проходящая через середины сторон)
и окружность, проходящая через основания биссектрис
внутренних углов этого треугольника, имеют общую точку.
"Средние" задачи.
3. У одного из семи воров, выстроенных в ряд, находится украденная монета.
Сыщик может обыскать любого вора, но когда один обыск окончен, а другой
(пока составляют протокол) ещё не начат, вор, у которого есть монета,
незаметно передаёт её одному из своих соседей. Найдите минимальное число
обысков, при помощи которых сыщик наверняка может обнаружить монету.
4. Верно ли, что среди миллиарда последовательных натуральных чисел
существует число, делящееся на сумму своих цифр?
5. 10000 солдат - ефрейторы и рядовые - выстроены в каре 100&temmes;100
так, что у каждого из них ровно один сосед (справа, слева, спереди или сзади)
- ефрейтор. Сколько ефрейторов в строю?
Лёгкие задачи.
6. Длиную бумажную ленту ширины 1 перегнули под углом к её краю. В результате
образовался "двуслойный" треугольник. Найдите его наименьшую возможную
площадь.
7. Бикфордов шнур горит неравномерно, а сгорает ровно за 1 минуту.
При помощи двух таких шнуров отмерьте 45 секунд.
8. К сумме двух натуральных чисел прибавили их наименьшее общее кратное
и наибольший общий делитель. Могла ли сумма оказаться равна 123456789?
9. Нарисован выпуклый четырёхугольник, никакие две стороны которого не
параллельны, и провели биссектрисы трёх его внутренних углов. При помощи
одной линейки постройте биссектрису четвёртого внутреннего угла
этого четырёхугольника.
10. Дни рождения большинства Петиных одноклассников в 1999 году приходились
на четверги, а в 2000 году . на пятницы. Докажите, что и в 2001 году
был такой день недели, на который приходились дни рождения большинства
Петиных одноклассников.
Наверх Лекция 1 ноября
Лектор: Андреев Н.Н.
Тема: Экстремальные расположения точек на сфере
Экстремальные задачи - задачи о нахождении наилучшего с той или иной
точки зрения решения - издавна занимали математиков. Лекция
посвящена экстремальным расположениям точек на сфере.
Рассмотрим такую задачу. Пусть имеется много одинаковых монет. Положим одну
на стол. Сколь много монет можно положить на стол,
чтобы все касались первой монеты?
Как и любая экстремальная задача, она состоит из двух подзадач:
надо расположить некоторое количество монет и доказать, что
большее число монет нельзя положить вокруг одной.
В пространстве задача о контактном числе шаров оказалась намного
сложнее и была решена лишь более чем через 200 лет после знаменитого
диспута англичанина И. Ньютона и шотландца Д. Грегори. Аналогичные
многомерные задачи используется для помехоустойчивого кодирования,
в том числе в компьютерных модемах.
В связи с исследованиями строения атома на рубеже XIX и XX веков
английский естествоиспытатель Дж.Дж. Томсон поставил следующую задачу.
Поместим несколько одинаковых зарядов (электронов) на сферу. К каким
расположениям будут стремится заряды, минимизируя
потенциальную энергию системы? Решение этой
задачи известно лишь в нескольких частных случаях, о которых и будет
рассказано на лекции, на которой будут продемонстрированы научно-популярные
фильмы, использующие трёхмерную графику, доступную всем зрителям.
Наверх Лекция 15 ноября
Лектор: Смирнов С.Г.
Тема: Чудеса четырехмерного пространства
Четырёхмерное пространство невозможно охватить единым взором наших трехмёрных
глаз. Но можно изучать различные фигуры, вмещенные этим пространством:
двумерные и трёхмерные плоскости, правильные многогранники, одномерные или
двумерные узлы, следы волновых фронтов и особые некоммутативные числа —
кватернионы. Изучение симметрий четырёхмерного пространства позволило
открыть экзотические сферы размерности 7 и обнаружить
четырёхмерные многообразия, которые нельзя сгладить.
Предполагается, что слушатели знакомы с правильными трёхмерными
многогранниками и скрещивающимися прямыми.
Наверх Лекция 22 ноября
Лектор: Нестеренко Ю.Н.
Тема: О простых числах
Некоторые натуральные числа можно разложить на меньшие сомножители. Например,
11111111111111111 = 2071723*5363222357.
Такие числа называют составными. Числа 2071723 и 5363222357 простые:
они на меньшие множители не раскладываются. Среди простых чисел попадаются
любопытные экземпляры, например,
2003; 200311...112003, где единиц 547 штук; 11...11200311..11, где в каждой
из групп единиц их 114 штук.
Примерно 2500 лет назад Евклид доказал, что множество простых чисел
бесконечно. Исследования свойств простых чисел составляют один из самых
древних и увлекательных разделов теории чисел. Вы узнаете о совершенных
числах, о простых числах Мерсенна и Ферма; как можно доказать простоту
числа; сколько простых чисел имеется на отрезке от 1 до n;
о простых числах, заканчивающихся на 2003, вообще о теореме Дирихле
про простые числа в арифметической прогрессии; о дзета-функции Римана
и его знаменитой гипотезе.
Наверх Лекция 29 ноября
Лектор: Натяганов В.Л., Лужина Л.М., Налетова В.А.
Тема: М.В.Ломоносов и загадки амосферного электричества (мнимые парадоксы шаровой молнии и другие неординарные явления электромагнетизма)
Ломоносов в своем знаменитом "Слове о явлениях воздушных, от электрической
силы происходящих" (24 ноября 1753 г.) "... с присущей ему силой
гения сумел в своей теории правильно вскрыть самые общие моменты в процессе
образования атмосферного электричества" (Я.И.Френкель), то есть
дал подробный анализ всех известных в то время типов
электрических разрядов в газах почти в полном соответствии с их
современной классификацией. Он заявил об открытии естественного
атмосферного электрического поля Земли и одним из первых
высказал гипотезу об электрической природе шаровой молнии,
атмосферного смерча (торнадо) и северного сияния, причислив их к
наиболее загадочным явлениям природного электричества.
В лекции приводится краткий обзор современного состояния и успехов в
изучении атмосферного электричества. Основное внимание уделено вопросам
математического моделирования так называемых обратных задач, когда о сути
природного явления приходится судить по неполным и часто противоречивым
данным натурных наблюдений.
Примером подобной задачи является проблема строения шаровой
молнии, которую по праву можно отнести к одному из самых
парадоксальных и до сих пор загадочных явлений атмосферного
электричества.
На основе электрокапиллярновихревой модели шаровой молнии объясняются мнимые
парадоксы этого феномена природы и приводятся аналоги родственных явлений.
Заинтересованный слушатель может обратиться к следующей
дополнительной литературе:
1. Ломоносов М.В. Избранные произведения. Т.1. Естественные науки и
философия // М.: Наука, 1986.
2. Леонов Р.А. Загадка шаровой молнии. // М.: Наука, 1965.
3. Стаханов И.П. О физической природе шаровой молнии. // М.: Научный мир,
1996.
4. Смирнов Б.М. Проблема шаровой молнии. // М.: Наука, 1988.
5. Натяганов В.Л. Электрокапиллярновихревая модель шаровой молнии. ДАН 2003,
Т. 390, #6.
Наверх Лекция 6 декабря
Лектор: Арнольд В.И.
Тема: Топология алгебры и теории чисел
1. Соединим каждый остаток от деления на 7 стрелкой с его квадратом.
Граф возведений в квадрат элементов любой конечной группы имеет компонентами
связности циклы, оснащённые одинаковыми во всех вершинах цикла деревьями.
2. Граф возведений в квадрат матриц второго порядка с определителем 1,
составленных из остатков от деления на простое число p, естественно
приводит, при p=5, к пяти кубам Кеплера, вписанным в додекаэдр.
Двенадцать рёбер каждого куба Кеплера — это двенадцать диагоналей
двенадцати пятиугольных граней додекаэдра. Кеплер придумал эти кубы ради
описания больших осей орбит планет солнечной системы в своей книге
"Гармония мира".
3. Топология алгебры включает и такой факт: "конечная окружность", заданная
уравнением x^2+y^2=1 (где x и y — остатки от деления на простое
число p, p>2) является циклической группой порядка p-1, если p
даёт остаток 1 при делении на 4, и порядка p+1, если p даёт остаток
3 при делении на 4. Имеется и конечная p-плоскость Лобачевского,
состоящая из p(p-1)/2 элементов.
4. Имеется матричное обобщение малой теоремы Ферма, гласящей,
что для любого простого p разность между p-й степенью суммы любых чисел и
суммой их p-х степеней делится на p.
5. Длина k максимальной нетривиальной (состоящей не только из единичной
матрицы) цепочки последовательных возведений в квадрат матриц размером 2 на 2
с определителем 1, составленных из остатков от деления на простое число p,
определена условием: p сравнимо по модулю 2k с числом 1 или с числом -1.
Например, k=2 для p=5 или 11, k=4 для p=17 или 47.
Кубы Кеплера получаются из этих цепочек при p=5.
Наверх Лекция 11 декабря
Лектор: Заславский А.А.
Тема: Заславский А.А.
Соединив каждую вершину треугольника с точкой касания
противоположной стороны со вписанной окружностью, получаем три
отрезка, пересекающиеся (как легко установить при помощи теоремы
Чевы) в одной точке — точке Жергонна. Для любого тетраэдра
тоже можно соединить каждую его вершину с точкой касания
вписанной сферы с противоположной рассматриваемой вершине гранью
тетраэдра. Получим четыре отрезка, далеко не всегда
пересекающиеся в одной точке. Однако если два из них
пересекаются то и другие два тоже пересекаются (не обязательно в
той же точке).
Далее, все четыре отрезка, соединяющие вершина тетраэдра с
соответвующими точками касания противоположных граней с
вписанной сферой, пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда выполнены следующие условия:
— произведения косинусов половин противоположных
двугранных углов равны;
— точки касания вписанной сферы с
гранями тетраэдра являются точками Торричелли этих граней (то
есть точками, из которых стороны соответствующего
треугольника видны под углами величиной 120 градусов);
— проекции центра вневписанной сферы на ребра соответствующей
грани образуют правильный треугольник.
Наверх Лекция 20 декабря
Лектор: Зильберман А.Р.
Тема: Оптика - геометрическая, и не только...
Что мы видим, когда смотрим?
Как преломляется и отражается свет и чем могут быть полезны
призмы, линзы и зеркала?
Источник света и его изображение.
Свет - это волны. Ну, и что?
В общем, вся оптика за полтора часа...
Наверх Лекция 27 декабря
Лектор: Спивак А.В.
Тема: Числа Бернулли
Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) изучал свойства
последовательности чисел, возникающей при суммировании степеней
последовательных натуральных чисел. А именно, для любого натурального
k существует — и это будет доказано на лекции — такой многочлен Sk(n),
что для любого натурального n сумма k-х степеней первых n натуральных
чисел равна Sk(n). Числами Бернулли Bk называют коэффициент при первой
степени переменной n многочлена Sk(n). Оказывается, B1=1/2, а все
остальные числа Бернулли с нечётными номерами равны 0. Мы выведем рекуррентное
соотношение, выражающее очередное число Бернулли через предыдущие, а также
формулу, выражающую коэффициенты многочлена Sk(n) через числа Бернулли.
И разные другие интересные формулы.
Наверх |
