| | |
| 2004
Осенний семестрЛекция 2 октября
Лектор: Спивак А.В.
Тема: Периодические цепные дроби и квадратичные иррациональности
Цепные дроби позволяют довольно естественным и единообразным
способом записать любое вещественное число. Рациональные числа
записываются в виде конечных цепных дробей. Любая периодическая
цепная дробь, как легко доказать, является квадратичной
иррациональностью. Золотое сечение (отношение длины диагонали
правильного пятиугольника к длине его стороны) записывается в
виде [1;1,1,1,1,1,...]. Корень из двух — в виде
[1;2,2,2,2,2,...]. Француз Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) доказал,
что цепная дробь любой квадратичной иррациональности периодическая.
В 1828 году француз Эварист Галуа (1811-1832) выяснил,
цепные дроби каких квадратичных ирациональностей
периодичны, а каких — имеют предпериод. Оказалось, что
квадратичная иррациональность должна быть больше 1, а
сопряжённое к ней число должно лежать между -1 и 0.
Наверх Лекция 16 октября
Лектор: Маркелов С.В.
Тема: Открытые проблемы элементарной геометрии
Во время Великой Отечественной войны в представлениях к полководческим
орденам писали: "смело и решительно обходя очаги сопротивления,
не ввязываясь в затяжные бои, проник далеко вглубь обороны противника".
Так и наша наука — математика — ушла далеко вперёд; в некоторых
областях, чтобы понять условия задач, нужно учить лет десять
специальный язык сложнее китайского. Прорвавшаяся вперёд наука оставила
очаги сопротивления даже в элементарной геометрии: точки, прямые,
окружности — условие понятно старшекласснику, а решение неизвестно
никому. О таких задачах и пойдёт речь. Вот несколько из них:
-
Каково минимальное число цветов, в которые можно раскрасить
плоскость так, чтобы концы любого отрезка длины 1 были покрашены
в разные цвета?
-
Существует ли раскраска точек пространства в 14 цветов, чтобы
концы любого отрезка длины 1 были покрашены в разные цвета?
-
Сколько точек общего положения должно быть отмечено на
плоскости, чтобы среди них непременно нашлись вершины выпуклого
шестиугольника?
-
В любом ли многоугольнике с зеркальными изнутри сторонами можно
так разместить лампочку, чтобы он был освещён весь?
-
Можно ли несколькими непересекающимися и не касающимися
зеркальными снаружи кругами загородить горящую лампочку?
-
В любом ли многоугольнике с зеркальными сторонами найдётся
замкнутый путь светового луча?
-
Существует ли многоугольник, копиями которого плоскость можно
покрыть, но только непериодическим образом?
-
Может ли выпуклый многогранник, которым можно замостить всё
пространство, иметь больше 38 граней?
-
Какова фигура минимальной площади, которой можно покрыть любой
многоугольник диаметра 1?
-
Какова фигура минимальной площади, которой можно покрыть любую
фигуру периметра 1?
-
Сколь велика может быть площадь n-угольника диаметра 1 при данном n?
-
У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без
самопересечений?
-
Рассмотрим n точек, не лежащих на одной прямой. Верно ли, что
среди них найдётся точка, через которую проходит не менее n/3
прямых, соединяющих её с остальными n-1 точками?
Наверх Лекция 23 октября
Лектор: Казарян М.Э.
Тема: Ласточкин Хвост
"Ласточкин хвост" - это имя замечательной поверхности
в трехмерном пространстве многочленов вида
x4 + a x2 + b x + c,
состоящей из значений параметров (a,b,c), при которых многочлен имеет
кратный корень. Эта поверхность не является гладкой, и ее особенности
встречаются типичным образом в огромном числе задач дифференциальной
геометрии и топологии. Некоторые из них будут обсуждаться на лекции.
Наверх Лекция 30 октября
Лектор: В. М. Тихомиров
Тема: Геометрические задачи И. Ф. Шарыгина.
Игорь Фёдорович Шарыгин (1937—2004) — выдающийся геометр,
автор многих учебников, задачников, популярных книг по математике. Он
был замечательным геометрическим композитором — творцом новых
геометрических задач.
На лекции будут обсуждаться некоторые геометрические задачи
Игоря Фёдоровича, а также его научные и педагогические идеи.
Наверх Лекция 6 ноября
Лектор: Шаров С.А.
Тема: НАДВРАТНЫЙ ХРАМ ИОАКИМА И АННЫ ВО ВЛАДИМИРЕ
(опыт историко-архитектурной реконструкции)
Основная цель лекции — демонстрация возможностей научной
историко-архитектурной реконструкции давно утраченных памятников.
Церковь Иоакима и Анны, построенная епископом Иоанном и князем Всеволодом
Большое Гнездо в 1195—1196 годах на воротах Детинца города Владимира,
давно утрачена. От неё практически не сохранилось даже изображений (только
рисунок воротной башни с надстроенной в XVII веке на месте церкви
колокольней), а археологические раскопки выявили лишь основание башни
ворот и позволили собрать небольшую коллекцию обломков архитектурных
деталей памятника, дающих самое общее представление о его декоративном
убранстве. Казалось бы, наши возможности реконструировать облик храма
равны нулю.
Однако, особенности техники строительства в полу-бутовой кладке,
практически не позволяющей возводить несущие стены толщиной менее 75 см,
технические ограничения на отдельные элементы постройки (минимальная
ширина дверных проёмов и лестниц, предельный уклон лестницы и т. п.) вкупе
с тщательным анализом остатков памятника и его близких архитектурных
аналогов позволяют достоверно воссоздать архитектурные формы и
конструктивную структуру утраченной постройки, скрупулёзно рассчитать её
размеры и осуществить доказательную реконструкцию с поразительной
точностью (в пределах 5—10 см).
Полученная реконструкция, в свою очередь, объясняет происхождение ряда
загадочных особенностей знаменитых построек Ростовского кремля,
возведённых митрополитом Ионой Сысоевичем пятьсот лет спустя, в конце
XVII века.
Наверх Лекция 13 ноября
Лектор: В.И. Арнольд
Тема: Динамика и статистика полей Галуа
Поля Галуа — это конечные поля. Число элементов
такого поля равно степени простого числа. Поле этим числом
определяется однозначно (с точностью до изоморфизма).
Оказывается, таблица сложения такого поля (ненулевые элементы
которого образуют по умножению циклическую группу) обладает
удивительными эргодическими свойствами. Например, для поля
из p2 элементов возникает квадратная таблица
из p2 – 1 натуральных
чисел, заполняющих эту таблицу квазислучайным образом.
В докладе будет рассказано об этих вопросах, находящихся на границе
алгебры, теории чисел, теории динамических систем,
теории вероятностей, статистики перколяции и т.п.
Значительная часть установленных здесь фактов — не
доказанные теоремы, а эмпирические наблюдения, ожидающие смелых
исследователей.
Например, таблица из 24 чисел, квазислучайные свойства которых нужно
исследовать, такова:
| 13 | 15 | 5 | 16 | 20 |
| 7 | 10 | 9 | 14 | 23 |
| 19 | 11 | 2 | 21 | 22 |
| 1 | 8 | 4 | 17 | 3 |
| ∞ | 24 | 18 | 6 | 12 |
Постарайтесь угадать, чем эта таблица замечательна:
в докладе будет рассказано и о "случайных" и "неслучайных"
свойствах этого заполнения квадрата 5x5 числами
и символом бесконечности.
Наверх Лекция 20 ноября
Лектор: Натяганов В.Л.
Тема: М. В. Ломоносов и загадки
атмосферного электричества:
сейсмоэлектромагнитные явления.
В 1755 году в Европе произошло сильное землетрясение, которое почти
полностью разрушило г. Лиссабон, привело к гибели десятков тысяч
людей и уникальных памятников архитектуры. Эта трагедия породила
различные религиозные и философские искания. В научном плане
оригинальные и взаимодополняющие ответы дали два самобытных гения:
М. В. Ломоносов в России и И. Кант в Германии. Ломоносов в "Слове
о рождении металлов от трясения Земли" (1757) впервые привёл
исчерпывающую характеристику четырём основным типам колебаний земной
поверхности при землетрясениях, высказал ряд правильных гипотез
о причинах землетрясений, их роли в образовании различных минералов,
кратко описал акустические, гидрологические и световые предвестники
землетрясений.
Но важная и теоретически интересная
геофизическая задача — краткосрочный прогноз места и времени
будущего землетрясения по многочисленным и противоречивым
предвестникам различной природы — всё ещё (уже четверть тысячелетия
со времён Ломоносова) так и не решена.
На лекции будет рассказано о сейсмоэлектромагнитных
явлениях — краткосрочных предвестниках землетрясений
электромагнитной природы; возможных физических механизмах типа
гипотезы "подземных гроз" А. А. Воробьёва, лежащих в основе этих
эффектов; и подходах к их математическому моделированию по аналогии
с уже изученными явлениями и процессами (типа задачи обтекания
воздухом крыла самолёта при его полёте).
Наверх |
