2004
Весенний семестрЛекция 14 февраля
Лектор: Андреев Н.Н.
Тема: Удивительные многогранники.
Мир многогранников интересен и занимателен. Будет рассказано о некоторых
удивительных свойствах многогранников, на первый взгляд противоречащих интуиции.
Если из одинаковых наборов граней можно сложить выпуклый и невыпуклый
многогранники, может ли объём невыпуклого быть больше объём выпуклого?
Один тетраэдр лежит внутри другого. Может ли сумма длин рёбер внутреннего тетраэдра
быть больше суммы длин рёбер объемлющего?
Как ни странно, в обоих случаях — может! Рассказ об этом и о других интересных
задачах будет сопровождён демонстрациями комьютерных трёхмерных фильмов.
Наверх Лекция 28 февраля
Лектор: Жижилкин И.Д.
Тема: Инверсия
Инверсия (симметрия относительно окружности) — это
преобразование плоскости, при котором внутренняя и внешняя части
окружности меняются местами. Такое "выворачивание плоскости
наизнанку" обладает многими интересными свойствами и может быть
использовано для решения сложных задач. Например, такова задача
Паппа об арбелосе: если рассмотреть отрезок, разбитый некоторой
точкой на два отрезка, и построить как на диаметрах три
полуокружности по одну сторону от прямой, а затем вписать
окружность в образовавшийся криволинейный треугольник (арбелос),
то расстояние от её центра до прямой равно её диаметру.
Будут рассмотрены некоторые частные случаи знаменитой
задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных
окружностей (одна или больше из которых может быть заменена на
прямую), а также связь между инверсией и стереографической проекцией.
Наверх Лекция 6 марта
Лектор: Рудаков А.Н.
Тема: Задавание вопросов и измерение количества информации
Получение информации можно представить как получение ответов
на вопросы. Количество информации естественно связано с количеством
вопросов. Впрочем стратегия задавания вопросов тоже влияет на их
количество. Мы можем смоделировать ситуацию в виде "игры" между
двумя участниками (людьми, компьютерами), один задает вопросы,
другой отвечает, у одного есть стратегия ответов, у другого -
стратегия спрашивания.
Для обсуждения стратегий нам понадобятся такие слова как дерево
решений, кодировка возможных ответов. Учет предпочтений "игроков"
требует привлечения вероятностных алгоритмов и повторения
"экспериментов". Мы возвращаемся к тому, чтобы связать количество
информации с количеством в среднем (математическим ожиданием)
необходимых при оптимальной стратегии вопросов.
Особых предварительных знаний не предполагается.
Наверх Лекция 13 марта
Лектор: Рудаков А.Н.
Тема: Вероятности прошлых событий
Говоря о вероятности следует различать "объективную"
и "субъетивную" вероятность. Первая обсуждается в контексте
повторений экспериментов, набора статистики, и довольно
привычна. Вторая более соответствует слову вероятность и
встречается в контексте логики, оценок правдоподобия,
достоверности информации, и вполне может применяться к
утверждению о одном индивидуальном событии в прошлом.
Математическая теория вероятности допускает собственно
говоря обе интерпретации, и казалось бы они обе должны были
бы быть равно представлены при обсуждении того, что такое
вероятность, но как мы знаем, хотя "все животные равны",
некоторые иногда бывают заметно "равнее", так что нас не
должно особенно удивлять неравенство в традиционном
устоявшемся изложении.
Целью рассказа будет пообъяснять что такое вероятность
с уклоном в ее субъективную интерпретацию, следую Бернулли,
Лапласу, Джефри и Джейнсу. Тема для рассказчика новая,
необкатанная, и строго говорая менее простая, чем то,
что обычно рассказывают школьникам. С другой стороны
она близка здравому смыслу, и сам расказчик был бы очень
рад узнать и задуматься об этих фундаментальных и интересных
идеях в очень молодом возрасте.
Больших математических знаний не предполагается, желательно
знать что такое n! и как мы приходим к n!/m!(n-m)!
Наверх Лекция 27 марта
Лектор: Ященко И.В.
Тема: Шифры и математика
На лекции будет рассказано, как математика помогает защищать информацию,
что такое частотный анализ, как играть в карты по телефону, как
безопасно делать подсказки на глазах у учителя, наконец, как
заработать пару миллионов долларов, раскладывая числа на простые множители.
Помимо школьников 6—8
классов, на лекцию особо приглашаем родителей, поскольку
после лекции Иван Валерьевич готов ответить на вопросы о
математических классах, формирование многих из которых начинается в апреле.
Наверх Лекция 17 апреля
Лектор: Соколов В.В.
Тема: Классификация правильных многогранников
Правильный многоугольник --- это многоугольник, у
которого все углы равны и все стороны равны. Правильный
многогранник --- это выпуклый многогранник, все грани которого
являются равными правильными многоугольниками, причём во всех
вершинах сходится одно и то же число граней. На лекции будет
сформулировано определение правильного многогранника в
n-мерном пространстве. Для этого будет введено понятие флага
(для n=2 флаг --- это вершина и выходящее из неё
ребро, а для n=3 --- вершина, выходящее из неё ребро и
содержащая это ребро грань). Многогранник называют правильным,
если для любых двух его флагов существует самосовмещение, переводящее первый флаг во второй.
Всем известно, что разных правильных
многоугольников бесконечно много. Теорема Шлефли (1850 год) утверждает, что в
трёхмерном пространстве правильных многогранников пять
(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), в
четырёхмерном — шесть, а для любого n>4 правильных
многогранников всего лишь три. Её доказательство естественно
разбивается на две части: комбинаторное описание многогранников
и доказательство их существования (например, при помощи явного
задания координат вершин). Первая часть будет рассказана весьма
подробно, а вторая, более техническая,— лишь намечена.
Желающие глубже познакомиться с темой лекции могут сделать
это по первому тому "Геометрии" Марселя Берже (издательство
"Мир", 1984 год).
Наверх Лекция 24 апреля
Лектор: Осипов Н.Н.
Тема: Многочлены Чебышёва
Многочлен Чебышёва Tn(x) — это такой многочлен, что для любого t
верно равенство cos(nt)=Tn(cost). Есть и другое,
пожалуй даже более интересное определение: из всех многочленов степени n со
старшим коэффициентом 2n-1 многочлен Чебышёва является наименее
уклоняющимся от нуля на отрезке [-1;1]. ("Отклонение от нуля" — это
максимальное на данном отрезке значение абсолютной величины исследуемой
функции.)
На лекции будет рассказано о равносильности этих двух определений
многочленов Чебышёва, выведены разнообразные рекуррентные
соотношения, которым удовлетворяют эти многочлены. Но главное содержание
лекции составят не эти хорошо известные соотношения и свойства, а
довольно неожиданная теорема В.А.Маркова. Коротко говоря, среди
всех многочленов степени n, отклоняющихся от нуля на отрезке [0;1]
не более чем на 1, многочлен Tn(2x-1) имеет наибольшую возможную
сумму модулей коэффициентов. Будет рассказано и о других аналогичных фактах.
Наверх |
