На главную страницу НМУ
Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений (весна 1998)
И.С.Красильщик
Задачи к экзамену (Exam problems)
[Postscript-файл (88 K)|Запакованный
zip-ом postscript-файл (31 K)]
Требования к подготовке слушателей
Гладкие многообразия и дифференциальное исчисления на них: векторные
поля, дифференциальные формы, распределения. Локально-тривиальные и
векторные расслоения, связности. Основы теории категорий: категории,
функторы, диаграммы. Коммутативная алгебра: кольца, алгебры, модули,
спектры.
Программа курса
Джеты и классическая теория симметрий
- Многообразия и расслоения джетов. Канонические координаты.
- Линейные дифференциальные операторы. Поднятия.
- Нелинейные операторы. Композиции и продолжения.
- Уравнения. Решения. Конусы и типы.
- Распределение Картана. Структура интегральных многообразий.
- Симметрии и их производящие функции. Приложения.
- Внешние и внутренние симметрии.
Бесконечные джеты и теория высших симметрий
- Необходимые сведения из дифференциального исчисления в коммутативных
алгебрах.
- Бесконечные джеты. Бесконечные продолжения нелинейных операторов.
- Распределение Картана на бесконечных джетах. Интегрируемость и
структура интегральных многообразий.
- Бесконечные продолжения нелинейных уравнений. Формальная интегрируемость.
- Симметрии распределения Картана на бесконечных джетах. Эволюционные
дифференцирования и линеаризации.
- Высшие симметрии нелинейных уравнений. Структурная теорема.
- Примеры вычислений.
Накрытия и нелокальные симметрии
- Категория дифференциальных уравнений: объекты и морфизмы.
- Накрытия в категории дифференциальных уравнений. Примеры.
- Преобразования Беклунда. Операторы рекурсии.
- Нелокальные симметрии и их тени. Примеры.
- Универсальное абелево накрытие и теорема о восстановлении.
Связи с гомологической алгеброй и перспективы
