Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/s98/alg.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:01:07 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:26:39 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: 3
Algebra, semester 2 (Spring 1998)

На главную страницу НМУ

Алгебра, 2 семестр (весна 1998)

Б.Л.Фейгин

Задачи к семинарам:

Postscript-файлы

[Занятие 1 (37 K)]

Запакованные zip-ом Postscript-файлы

[Занятие 1 (14 K)]

Задачи к экзамену (Exam problems)

Postscript-файл (41 K)

Запакованный zip-ом Postscript-файл (16 K)

Повторный экзамен было решено провести по облегченной программе.

Программа повторного (осеннего) экзамена

Здесь перечислены некоторые знания по алгебре, которыми нужно обладать, заканчивая 1 курс. По каждому разделу мы приводим названия и формулировки некоторых тестовых теорем и задач. Умение их решать может рассматриваться как некоторое свидетельство того, что Вы обладаете некоторыми знаниями по соответствующему разделу.

Некоторые книги, в которых можно посмотреть доказательства теорем:

  1. Б.Л. Ван-дер-Варден, профессор университета в Гронингене. Современная алгебра, в 2х томах, ОНТИ НКТП СССР, М.-Л., 1937. (существует более позднее издание под названием "Алгебра")
  2. Кострикин. Введение в алгебру.
  3. С. Ленг. Алгебра

На экзамене будут предложены вопросы, совпадающие с приведенными в этой программе, или их небольшие вариации.

  1. Линейная алгебра
    1. Пусть W - линейное пространство, а U_1,..., U_n - его подпространства. Прямой суммой двух наборов подпространств (W; U_1, \dots, U_n) и (W'; U_1',..., U_n') называется набор (W \oplus W'; U_1\oplus U_1', \dots, U_n \oplus U_n') [\oplus означает прямую сумму]. Набор называется неразложимым, если он не может быть представлен в виде прямой суммы двух ненулевых наборов подпространств. Перечислите неразложимые наборы подпространств при n = 0, 1, 2, 3.
    2. Докажите теорему о жордановой нормальной форме оператора (Кострикин, Ленг).
    3. Алгеброй Клиффорда называется ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел, порожденная образующими x_1, ..., x_n и соотношениями x_i^2 = 1, x_i*x_j + x_j*x_i = 0, i,j = 1,..., n. [Звездочка обозначает умножение]. Докажите, что
      1. При n=2 алгебра Клиффорда изоморфна алгебре матриц второго порядка.
      2. При n=3 алгебра Клиффорда изоморфна прямому произведению двух алгебр матриц второго порядка.
  2. Группы
    1. Теорема Силова (см. Кострикин).
    2. Перечислите все группы порядков p^2 и p^3 при p простом.
    3. Докажите, что группа четных подстановок n элементов, где n больше или равно 5, не содержит нетривиальных нормальных подгрупп (см. Ван дер Варден).
  3. Кольца, поля, расширения
    1. Докажите, что число элементов во всяком конечном поле есть степень простого числа, и существует ровно одно поле с таким числом элементов (см. Ленг, Ван дер Варден).
    2. Любое конечное тело есть поле (см. Ленг, Ван дер Варден).
    3. Опишите все простые идеалы в кольце Z[i] гауссовых целых чисел.
    4. Докажите, что целые элементы алгебраического расширения образуют кольцо (см. Ленг).
    5. Расклассифицировать все кольца из p^2 элементов.
Rambler's Top100