На главную страницу НМУ
А.Г.Сергеев
Теория функций комплексного переменного (весна 1997)
Материалы семинаров и задачи к экзамену (Exercises and
exam problems)
Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions
of Ghostview)
[Семинары
(47K) (Exercises)|Экзамен 1
(12K) (First exam)|
Экзамен
2 (12K) (Second exam)]
Запакованные zip-ом postscript-файлы (Zipped postscript)
[Семинары
(47K)|Экзамен 1
(12K)|Экзамен 2 (12K)]
Программа курса
- Аналитическое продолжение гамма-функции Эйлера.
- Аналитическое продолжение канонического элемента вдоль
пути. Единственность продолжения вдоль пути.
- Теорема о монодромии.
- Понятие многозначной аналитической функции. Аналитический элемент.
Функции $\root n\of{z}$ и логарифм.
- Особые точки аналитической функции. Точки
ветвления конечного порядка. Разложение аналитической функции в ряд Пюизо.
- Римановы поверхности функций $\sqrt{z}$ и $\text{Ln\;}z$.
- Определение римановой поверхности аналитической функции.
Структура комплексного многообразия на римановой поверхности.
- Логарифмический вычет. Число нулей и полюсов функции,
мероморфной в области.
- Принцип аргумента.
- Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
- Принцип сохранения области.
- Локальное обращение голоморфных функций. Необходимое
условие локальной однолистности.
- Принцип максимума модуля.
- Лемма Шварца.
- Локально равномерно ограниченные семейства голоморфных
функций.
- Теорема Монтеля.
- Теорема Гурвица. Предел последовательности однолистных
голоморфных функций.
- Автоморфизмы основных областей (расширенная плоскость,
комплексная плоскость, единичный круг). Биголоморфные отображения области на
круг.
- Теорема Римана.
- Принцип соответствия границ. Теорема Каратеодори
(без доказательства).
- Принцип симметрии.
- Конформное отображение верхней полуплоскости
на прямоугольник.
- Эллиптический синус.
- Общие свойства эллиптических функций (периоды, теорема
Лиувилля, вычеты и значения эллиптической функции в параллелограмме
периодов).
- Модулярная функция.
- Теорема Пикара.
