На главную страницу НМУ
М.В.Павлов.
Интегрируемые системы гидродинамического типа и методы классической дифференциальной геометрии
Программа по курсу:
Полугамильтоновые системы гидродинамического типа
- Локальные гамильтоновые структуры и локальные дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка (скобки Дубровина-Новикова). Плоские метрики. Плоские координаты. Тензор кривизны Римана. Лиувиллевы координаты.
- Понятие полугамильтоновости (интегрируемость). Инварианты Римана. Диагональная плоская метрика. Аффиноры. Тензор Ниенхейса. Тензор Хаантиеса. Тензор полугамильтоновости.
- Обобщенный метод годографа. Представление в инвариантах Римана, в произвольных координатах, в плотностях законов сохранения. Законы сохранения и коммутирующие потоки.
- Нелокальные гамильтоновы структуры. Поверхности с плоской нормальной связностью. Уравнения Гаусса и Майнарди-Петерсона-Кодацци. Нелокальные дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка (скобки Ферапонтова). Тензор кривизны Римана. Разложение по квадратам коммутирующих потоков. Скобка Пуассона, связанная с метрикой постоянной кривизны (скобка Мохова-Ферапонтова). Конформно-плоская метрика. Коразмерность два.
- Дисперсионные уравнения, имеющие гамильтоново или лагранжево представление, или достаточный запас законов сохранения. Построение периодических решений. Уравнение Лакса-Новикова. Метод усреднения Уизема. Гамильтонова структура усредненных уравнений. Усреднение многомерных дисперсионных уравнений. Усреднение интегрируемых дисперсионных уравнений. Алгебро-геометрический подход. Гиперэллиптические римановы поверхности. Уравнение Эйлера-Дарбу-Пуассона. Усреднение уравнений Боннэ (Син-Гордон), Кортевега де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера. Инварианты Римана. Построение плоских координат.
- Классификация полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Классификация криволинейных сопряженных систем координат. Егоровские системы. Слабонелинейные системы. Системы класса Темпля. Мультигамильтоновы структуры. Локальные операторы симметрии.
- Преобразования сопряженных систем координат и полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщеное Ф-преобразование. Преобразование Лапласа. Преобразование Леви. Обратное преобразование Леви. Преобразование Мутара. Преобразование Гурса. Преобразование по решению. Обобщеное преобразование по решению.
- Ортогональные системы координат. Егоровские системы гидродинамического типа. Уравнения ассоциативности.
Интегрируемые гидродинамические цепочки и бесстолкновительные кинетические уравнения типа Власова.
- Гидродинамическая цепочка Бенни. Кинетическое уравнение Власова. Гамильтонова структура. Лиувиллевы координаты. Плоские координаты. Импульсное пространство. Классическая дифференциальная геометрия в импульсном пространстве. Законы сохранения и коммутирующие потоки. Гидродинамические редукции. Уравнение Лёвнера. Система уравнений Гиббонса-Царева. Частные решения.
- Классификация интегрируемых егоровских гидродинамических цепочек.
- Локальные гамильтоновые структуры (условия существования Гринберг-Дорфман). Лиувиллевы координаты. М-скобки Пуассона. Линейные скобки Пуассона (скобки Дорфман). Описание гамильтоновых интегрируемых гидродинамических цепочек, связанных со скобками Дорфман. Новое нелокальное кинетическое уравнение для солитонного газа.
Интегрируемые многомерные квазилинейные системы уравнений в частных производных первого порядка.
- Связь интегрируемых многомерных квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка и кинетических уравнений типа Власова.
- Классификация интегрируемых трехмерных двух-компонентных систем гидродинамического типа. Классификация интегрируемых трехмерных квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка.
- Квантование интегрируемых трехмерных квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка.
