На главную страницу НМУ

Александр Юрьевич Плахов

Биллиарды и их применение в механике и оптике

Речь пойдет о задачах, так или иначе связанных с биллиардами во внешности ограниченных областей. Будут рассматриваться, в частности, следующие вопросы: (а) Можно ли обеспечить эффект невидимости с помощью системы криволинейных зеркал? (б) Космический аппарат (выпуклое тело) движется в облаке космической пыли. Частицы облака при столкновении с аппаратом отражаются от него абсолютно упруго. Можно ли (и если можно, то насколько) уменьшить силу торможения аппарата посредством нанесения шероховатостей (ямок, ложбинок и пр.) на его поверхность? Ответ, конечно, зависит от способа движения аппарата: (i) движется поступательно; (ii) медленно вращается (кувыркается) в процессе движения. Можно ли придумать такую форму аппарата, при которой он мог бы двигаться в облаке вообще без замедления (то есть сила торможения равнялась бы нулю)? Эти задачи возникли как обобщение аэродинамической задачи Ньютона, рассмотренной Ньютоном в Principia в 1697 г. (в) Ретрорефлекторы: существует ли (невыпуклое) тело с зеркальной поверхностью такое, что налетающий на него в любом направлении световой поток после нескольких отражений возвращается обратно (то есть меняет свое направление на противоположное)? (г) На квадратный стол со стороной 1 м вертикально вниз падает свет. Можно ли полностью закрыть стол плоскими зеркалами высотой не более 1 см над поверхностью стола таким образом, чтобы лучи света после отражения шли горизонтально (и больше не встречали на своем пути зеркал)? Зеркало - это многоугольный кусок плоскости, наклоненный под углом 45о. Допускается бесконечное число зеркал. Изменится ли ответ, если разрешить высоту не более 1 мм над столом? (Если разрешенная высота - 50 см, то ответ, очевидно, положительный: нужно расположить зеркала таким образом, чтобы они вместе со столом образовывали четырехгранную пирамиду.) При решении этих вопросов обнаруживаются связи с различными математическими теориями: задачей Монжа-Канторовича об оптимальном переносе массы; задачей Какейя о повороте иглы; эргодической теорией; задачами о периодических траекториях в биллиардах и гипотезой Иврия о мере периодических траекторий. Лекции будут проходить по пятницам с 17:30. Первое занятие 27 февраля.

Программа курса

1. Определение биллиарда и простые примеры (биллиард в квадрате и в круге). Сохранение меры при биллиардном отображении. Развертывание биллиардной траектории. Оптические свойства коник: эллипса, гиперболы и параболы. Формула, связывающая объем фазового пространства со средней длиной биллиардной траектории (формула Сантало).

2. Невидимость в биллиардах. Конкретные конструкции: 2- и 3-мерные области (тела с зеркальной поверхностью), невидимые в 1, 2, 3 направлениях; невидимые из 1 и 2 точек. Несуществование полностью невидимой области. Геометрические результаты о кониках, связанные с этими конструкциями. Результат Леонхардта о прозрачном преломляющем слое, обеспечивающем полную невидимость в 2-мерном случае.

3. Периодические траектории в биллиардах. Теорема Биркгофа о периодических траекториях в выпуклых областях и гипотеза Биркгофа. Дуализм невидимости и периодичности. Гипотеза Иврия о мере периодических траекторий и связанная с ней гипотеза о мере невидимых траекторий (обе гипотезы утверждают, что соответствующие меры равны нулю). Доказательство обеих гипотез для случая 3-звенных траекторий. Обзор результатов для 4-звенных траекторий (результат Глуцюка-Кудряшова; результаты Глуцюка о комплексификации биллиардов, открывающие унифицирующий подход для периодичности и невидимости).

4. Ретрорефлекторы: оптические устройства, обращающие направление падающих световых лучей. Уголок куба (квадрата) и кошачий глаз. Идеальный ретрорефлектор, основанный на преломлении: линза Итона. Построение асимптотически совершенных ретрорефлекторов в биллиардах.

5. Задача Ньютона (1676) о теле наименьшего аэродинамического сопротивления и ее обобщения. Обзор результатов 1990-х годов (Буттаццо, Каволь, Лашан-Робер и др.) о задаче Ньютона для невыпуклых и несимметричных тел. Построение тел сколь угодно малого сопротивления и тел нулевого сопротивления.

6. Обзор результатов по задаче Какейя о повороте иглы и ее обобщениям. Определение удельного сопротивления для функции 2 переменных и задача Комте-Лашан-Робера. Построение функции половинного сопротивления. Речь идет о следующей конструкции: вертикально вниз падает поток биллиардных частиц и после одного отражения от графика функции разлетается горизонтально (больше отражений нет). Связь этого результата с задачей Какейя.

7. Определение шероховатых поверхностей и закона биллиардного рассеяния на биллиардной поверхности. Теорема о классификации законов биллиардного рассеяния. Сопротивление движущихся и медленно вращающихся (кувыркающихся) тел. Задачи об оптимальном ошершавливании выпуклых тел, при котором сопротивление максимально или минимально.

8. Основные понятия теории Монжа-Канторовича об оптимальном переносе массы. Сведение задачи об оптимизации сопротивления шероховатых крутящихся тел тел (в любой размерности) к частной задаче Монжа-Канторовича и ее решение.