На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Спектральная геометрия-II

Предварительный план.

1. Доказательство теоремы Надирашвили-Эль Суфи-Илиаса о связи экстремальных метрик и минимальных поверхностей в сферах.

2. Задача Стеклова: постановка, вариационное описание, оператор Дирихле-Неймана, неравенства на собственные значения, проблема геометрической оптимизации собственных значений для задачи Стеклова, работы Шейна и Фрейзер о связи максимальных метрик с минимальными поверхностями в шарах.

3. Оценка кратностей собственных значений поверхностей, связь с нодальным кривыми и областями.

4. Ядро теплопроводности, какую информацию о поверхности можно "услышать" с его помощью (теорема Маккина-Зингера).

• Занятия 1-2: лекции. Доказательство теоремы Надирашвили, Эль Суфи и Илиаса о связи экстремальных метрик и минимальных подмногообразий сфер. По работе A. El Soufi, S. Ilias "Laplacian eigenvalue functionals and metric deformations on compact manifolds", Journal of Geometry and Physics 58 (2008) 89-104.
• Занятие 3: лекция. Оценки кратностей собственных значений, в основном по работе Н. С. Надирашвили "Кратные собственные значения оператора Лапласа", Матем. сб., 133(175):2(6) (1987), 223-237.
• Занятие 4: семинар. Оценки кратностей собственных значений, доклад Александра Бердникова по статье T. Hoffmann-Ostenhof, P.W. Michor, N. Nadirashvili "Bounds on the Multiplicity of Eigenvalues for Fixed Membranes", Geom. Funct. Anal. Vol. 9 (1999) 1169-1188.
• Занятие 5: лекция. Общие сведения о задаче Стеклова, вариационное описание, оценка на первое ненулевое собственное число (теорема Вейнстока), по работе A. Girouard, Iosif Polterovich, "Shape optimization for low Neumann and Steklov eigenvalues", Math. Meth. Appl. Sci. 2010, 33 501-516.
• Занятие 6: семинар. Оценка для второго ненулевого собственного числа задачи Стеклова. Доклад Дениса Фуфаева по работе A. Girouard, Iosif Polterovich, "Shape optimization for low Neumann and Steklov eigenvalues", Math. Meth. Appl. Sci. 2010, (33) 501-516.
• Занятие 7: лекция. Продолжение оценок на собственные числа в задаче Стеклова. Теорема Херша-Пэйна-Шиффера, по работе J. Hersch, L. E. Payne, M. M. Schiffer, "Some inequalities for Stekloff eigenvalues", Arch. Ration. Mech. Anal. 1974 Vol 57, 99-114. Краткий обзор (без доказательств) недавних результатов Фрейзер и Шейна.
• Занятие 8: лекция. Изоспектральность, построение изоспектральных областей с помощью трансплантации. По главе 5 книги M. Levitin, L. Boulton, Trends and tricks in spectral theory.
• Занятие 9: семинар. Изоспектральность, построение изоспектральных областей с помощью трансплантации. Доклад Бродерика Козли по работе P. Buser, J. Conway, P. Doyle, K.-D. Semmler, Some planar isospectral domains, Internat. Math. Res. Notices 1994, no. 9, 391-400.
• Занятие 10: лекция. Оценки суммарной длины нодальных линий. По обзору Alessandro Savo, Eigenvalue estimates and nodal length of eigenfunctions, Steps in Differential Geometry, Proceedings of the Colloquium on Differential Geometry, 25-30 July, 2000, Debrecen, Hungary.
• Занятие 11: семинар. Оценки на кратности собственных значений в задаче Стеклова. Доклад Александра Бердникова по работе M. Karpukhin, G. Kokarev, I. Polterovich, Multiplicity bounds for Steklov eigenvalues on Riemannian surfaces, Preprint arXiv:1209.4869.
• Занятие 12: семинар. Изоспектральность. Доклад Дениса Фуфаева по работе Я. Б. Воробец, А. М. Степин, Изоспектральность и проективные геометрии Галуа, Матем. заметки, 63:5 (1998), 660-664. Неравенства на собственные значения - доказательство Филонова неравенства Фридляндера. Доклад Бродерика Козли по работе Н. Филонов, Об одном неравенстве на собственные числа задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа, Алгебра и анализ, 16:2 (2004), 172-176.