На главную страницу НМУ
А.Ю.Пирковский (A.Pirkovski)
Спектральная теория и функциональные исчисления
для линейных операторов (Spectral theory for linear operators)
Записки лекций (Lecture notes)
Gzipped postscript (may be viewwed directly by some versions
of ghostview)
[Лекция 1 (53K)|Лекция 2 (37K)|Лекция 3 (39K)|Лекция 4 (41K)
Лекция 5 (38K)|Лекция 6 (54K)|Лекция 7 (41K)
Лекция 8 (53K)|Лекция 9 (46K)|Лекция 10 (56K)|Лекция 11 (48K)|Лекция 12 (49K)
Лекция 13 (60K)|Лекция 14 (75K)]
Zipped postscript
[Лекция 1 (53K)|Лекция 2 (37K)|Лекция 3 (39K)|Лекция 4 (41K)
Лекция 5 (38K)|Лекция 6 (54K)|Лекция 7 (41K)
Лекция 8 (53K)|Лекция 9 (46K)|Лекция 10 (57K)|Лекция 11 (48K)|Лекция 12 (49K)
Лекция 13 (60K)|Лекция 14 (75K)]
Booklet based on the lecture notes
[Gzipped postscript (503K)|Zipped postscript (503K)]
Цели
Предполагается рассказать об основных понятиях спектральной теории
линейных операторов в банаховом пространстве, делая (по возможности)
акцент на алгебраических аспектах теории.
Требования к подготовке слушателей:
по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из
алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них),
ТФКП (основные свойства аналитических функций, степенные ряды).
Также желательно некоторое знакомство с основными понятиями
функционального анализа: нормированными пространствами, линейными
операторами и т.п. (например, в объеме прошлогоднего курса). Впрочем, все
необходимые сведения будут напоминаться по ходу дела.
Примерная программа курса
- Общие свойства спектра.
-
Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра.
Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции.
Непустота и компактность спектра элемента
банаховой алгебры.
Теорема Гельфанда-Мазура.
Причины необратимости оператора и части его
спектра (точечный, непрерывный, остаточный, аппрокимативный
точечный\dots).
Двойственность: спектр сопряженного оператора.
Нахождение спектра конкретных операторов: диагонального,
умножения на функцию, сдвига.
- Голоморфное функциональное исчисление.
-
Интегрирование вектор-функций. Теорема Гельфанда о существовании
голоморфного функционального исчисления в окрестности спектра.
Единственность голоморфного исчисления. Теорема об отображении
спектра.
- Алгебраические переформулировки
- полученных
результатов. Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов
и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй
целых функций. Пространство максимальных идеалов как ``место обитания''
спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об
отображении спектра. Задача о функциональном исчислении.
\item \textbf{$C^*$-алгебры, операторы в гильбертовом пространстве
и непрерывное исчисление.}
Геометрия гильбертова пространства (основные факты).
Операторы в гильбертовом пространстве. Некоторые сведения
о $C^*$-алгебрах.
Спектр самосопряженного и унитарного элемента.
Преобразование Гельфанда коммутативной
банаховой алгебры. Первая теорема Гельфанда-Наймарка.
Непрерывное функциональное исчисление от нормального
элемента. Теорема об отображении спектра.
Непрерывное исчисление от \лк конкретных\пк\ операторов.
- Компактные и фредгольмовы операторы.
-
Общие свойства компактных операторов;
компактность сопряженного оператора, идеал компактных операторов.
Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы.
Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса.
Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора.
Характеризация фредгольмовых операторов.
Алгебра Калкина. Существенный спектр.
Пример: оператор сдвига. Диагонализация компактного
самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
- Спектральная теорема и борелевское исчисление.
-
Спектральные меры. Описание представлений коммутативных $C^*$-алгебр.
Спектральная теорема для самосопряженного оператора в терминах
разложения единицы. Разложение единицы для конкретных операторов:
проектора, диагонального, умножения на функцию. Борелевское
функциональное исчисление. Описание частей спектра (непрерывного,
точечного, существенного) через разложение единицы.
Спектральная теорема в терминах оператора умножения.
Дальнейшие темы --- на выбор слушателей:
- Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление
от набора коммутирующих операторов
-
Полинормированные (=локально выпуклые)
пространства, пространства Фреше, алгебры и модули Фреше.
Проективное тензорное произведение локлаьно выпуклых пространств.
Элементы гомологической алгебры (алгебраический
и функционально-аналитический варианты):
комплексы, гомологии, проективные модули и проективные резольвенты,
функтор Tor.
Резольвента Кошуля для алгебры многочленов
и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах
функтора Tor.
Совместный спектр Тэйлора и примеры его нахождения.
Параметризованные банаховы комплексы: открытость "множества
точности".
Комплекс Чеха и построение
голоморфного исчисления на совместном спектре.
- Элементы локальной спектральной теории.
-
Основные сведения о пучках. Пучки Фреше; примеры.
Пучковая модель оператора. Конечномерный случай.
Пучковые модели для "конкретных" операторов.
Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство
"бета" Бишопа. Примеры и контрпримеры.
Каноническая пучковая модель оператора со свойством "бета".
Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов.
Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели.
Локальные спектральные подпространства и их свойства.
Описание локальных спектральных подпространств оператора со
свойством "бета" в пучковых терминах.
Квазикогерентные пучки Фреше. Эквивалентность свойства
"бета" линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели.
Мягкие пучки. Разложимые операторы.
Эквивалентность разложимости оператора и мягкости
его пучковой модели.
