На главную страницу НМУ
А.Ю.Пирковский (A.Pirkovski)
Линейный функциональный анализ (Linear functional analysis)
Записки лекций (Lecture notes)
Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions
of Ghostview)
[Лекция 1 (36K)|Лекция 2 (43K)|Лекция 3 (44K)|Лекция 4 (35K)
Лекция 5 (43K)|Лекция 6 (39K)|Лекция 7 (37K)|Лекция 8 (45K)
Лекция 9
(40K)|
Лекция 10
(47K)
|
Лекция 11
(40K)
|
Лекция 12
(61K)
|
Лекция 13
(85K)
]
Zipped postscript
[Лекция 1 (36K)|Лекция 2 (43K)|Лекция 3 (44K)|Лекция 4 (35K)
Лекция 5 (43K)|Лекция 6 (39K)|Лекция 7 (37K)|Лекция 8 (45K)
Лекция 9 (40K)|Лекция 10
(47K)|Лекция 11
(40K)|Лекция 12
(61K)|Лекция 13
(85K)]
Exam
[Gzipped postscript (30K)|Zipped postscript (30K)]
О курсе
Цели
Предполагается рассказать об основных понятиях и теоремах
линейного функционального анализа - точнее, теории банаховых
пространств и ограниченных линейных операторов.
По возможности будет подчеркиваться
общекатегорный смысл вводимых понятий и доказываемых утверждений.
Общая теория будет сопровождаться должным количеством
конкретных примеров.
Требования к подготовке слушателей:
более чем достаточно знаний в объеме стандартных курсов матанализа
и линейной алгебры. Желательно (хотя и не обязательно) некоторое
знакомство с метрическими пространствами.
Примерная программа курса
- Категории и функторы:
основные понятия и примеры.
- Нормированные пространства и непрерывные линейные операторы.
Нормированные пространства. Первоочередные примеры: пространства
последовательностей и непрерывных функций. Непрерывные линейные операторы.
Непрерывность и ограниченность. Норма оператора и пространство
линейных операторов. Основные примеры:
диагональные операторы в пространствах последовательностей,
операторы умножения и интегральные операторы
в функциональных пространствах, операторы
сдвига. Категории $\mathcal N\! orm$ и $\mathcal N\! orm_1$.
Общие конструкции (подпространства, факторпространства,
прямые суммы...)
- Специфика бесконечномерного.
Компактные метрические пространства (напоминания).
Конечномерные пространства: эквивалентность норм.
Обилие неэквивалентных норм на бесконечномерных пространствах: примеры.
Некомпактность единичного шара в бесконечномерном
нормированном пространстве.
- Полнота.
Полнота; банаховы пространства. Полнота конкретных пространств
последовательностей, функций и операторов.
Категории $\mathcal Ban$ и $\mathcal Ban_1$.
Пополнение и его категорный смысл.
Краткое введение в теорию интеграла Лебега:
основные определения и факты. Пространства интегрируемых
функций. Теорема Бэра. Топологически инъективные и открытые операторы.
Теорема Банаха об обратном операторе, ее эквивалентные формулировки
и следствия.
- Линейные функционалы и двойственность.
Полунормы, теорема Хана-Банаха.
Сопряженное пространство и сопряженный оператор.
Примеры сопряженных пространств.
Каноническое вложение во второе сопряженное.
Топология, определяемая системой полунорм. Некоторые примеры
полинормированных (=локально выпуклых) пространств: пространства
непрерывных, дифференцируемых и голоморфных функций;
пространства распределений (обобщенных функций).
Слабая топология
на нормированном пространстве и слабая$^*$ топология на его
сопряженном. Аннуляторы; пространство, сопряженное к подпространству
и к факторпространству. Банаховы комплексы. Связь точности банахова
комплекса с точностью его сопряженного.
- Гильбертовы пространства и операторы в них.
Скалярное произведение. Геометрические понятия, с ним связанные:
ортогональность, неравенство Бесселя, неравенство Коши-Буняковского,
тождества параллелограмма и поляризации и т.п.
Гильбертово пространство; примеры.
Ортогональные разложения. Лемма Рисса (линейные функционалы на
гильбертовом пространстве).
Ортонормированные базисы. Равенство Парсеваля. Ортогонализация.
Теорема Рисса-Фишера.
Изоморфизм бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств.
Тригонометрический базис в $L^2(\mathbb T)$. Ряды Фурье.
Операторы в гильбертовом пространстве.
(Эрмитово) сопряженный оператор. $C^*$-свойство операторной нормы.
Ортогональные проекторы.
Самосопряженные, нормальные и унитарные операторы; примеры.
Унитарная эквивалентность.
- Спектр оператора.
Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра.
Банаховы алгебры: основные примеры. Открытость множества
обратимых элементов. Непустота и компактность спектра элемента
банаховой алгебры. Причины необратимости оператора и классификация
точек его спектра (точеченый, непрерывный, остаточный).
Двойственность: спектр сопряженного оператора.
Спектр самосопряженного и унитарного оператора.
Нахождение спектра конкретных операторов: диагонального,
умножения на функцию, сдвига.
- Компактные и фредгольмовы операторы.
Общие свойства компактных операторов;
компактность сопряженного оператора, идеал компактных операторов.
Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы.
Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса.
Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора.
Диагонализация компактных самосопряженных операторов:
теорема Гильберта и ее категорная интерпретация.
Возможные темы для дальнейших обсуждений (на выбор слушателей):
- Теплицевы операторы.
Пространства Харди. Функциональная модель оператора сдвига
и описание его инвариантных подпространств. Теплицевы операторы
и их спектральные свойства. Критерий фредгольмовости.
Существенный спектр как множество значений символа. Индекс
теплицева оператора как индекс вращения кривой, определяемой
его символом.
- Основные сведения о банаховых алгебрах.
- Спектральная теорема для нормального оператора.
- Совместный спектр набора коммутирующих операторов
(по Тэйлору). Гомологическая интерпретация спектра.
