Г.Б.Шабат (лекции), Г.Б.Шабат, Н.Я.Амбург, Е.М.Крейнес (упражнения)
Теория функций комплексной переменной
Листки к семинарам (Exrccise sheets)
Postscript
[Листок 1
(33K)|Листок 2
(29K)|Листок 2a
(32K)|Листок 3
(25K)]
Zipped postscript
[Листок 1
(13K)|Листок 2
(12K)|Листок 2a
(14K)|Листок 3
(10K)]
Программа курса
Часть I. Основы теории.
- Предварительные сведения
- Комплексные числа: алгебра, геометрия, топология. Элементы двумерной
топологии. Дифференциальные формы и интегрирование. Алгебра формальных
рядов. Простейшие понятия теории категорий.
- 1. Локальная теория голоморфных функций.
- Геометрия аффинных преобразований плоскости. Уравнения Коши-Римана.
Комплексные дифференциальные формы. Сходящиеся степенные ряды. Равносильность
определений. Понятие аналтитческой функции.
- 2. Сходящиеся степенные ряды.
- Круг сходимости.
Поведение функции на границе круга сходимости; связь с рядами Фурье.
Композиция сходящихся рядов. Обращение степенных рядов. Росток аналитической
функции.
- 3. Аналитическое продолжение.
- Переразложение сходящегося ряда. Элемент аналитической функции;
согласованные элементы. Аналитическое продолжение вдоль пути.
Эквивалентность путей. Определение аналитической функции. Многозначные
функции. Монодромия.
- 4. Риманова поверхность аналитической функции.
- Категория
аналитических продолжений; морфизмы и прямые пределы. Риманова поверхность
аналитической функции как максимальный объект; ее топология, атласы и
функции перехода. Примеры.
- 5. Особые точки.
- Изолироавнные особые точки. Локальные монодромия. Однозначный и
многозначный типы. Степенной и логарифмический характер особых точек
многозначного типа. Полюса и существенно особые точки. Ряды Лорана.
Теорема Сохоцкого. Мерофорфные дифференциалы и их полюса. Вычеты.
- 6. Абстрактные римановы поверхности.
- Определение. Морфизмы римановых поверхностей. Введение в проблемы
классификации.
- 7. Методы построения аналитических функций.
- Принцип максимума. Гармонические функции. Семейства функций.
Вариационные задачи. Принцип Дирихле.
- 8. Униформизация.
- Теорема Римана. Односвязные римановы поверхности. Дискретные группы
преобразований односвязных римановых поверхностей. Теорема Пикара.
Часть II. Функции комплексной переменной.
- 0. Принципы классификации функций.
- Исторический подход. Геометрическая классификация. Коэффициенты
степенных рядов. Дифференциальные и функциональные уравнения.
- 1. Алгебраические функции.
- Рациональные функции. Многозначные алгебраические функции.
- 2. Интегралы алгебраических функций.
- Элементарные функции как интегралы. Эллиптические интегралы.
Теоремы сложения.
Об общих интегралах.
- 3. Гипергеометрические функции.
- Гипергеометрические ряды. Гипергеометрическое дифференциальное
уравнение и его частные случаи. Интегральные представления.
- 4. Конформные отображения.
- Элементарные функции. Круг и прямолинейные многоугольники.
Круговые многоугольники.
- 5. Целые функции.
- Рост, порядок, тип. Теорема Фрагмена-Линделефа. Разложения в
бесконечные произведения. Введение в теорию равнораспределения Неванлинны.
- 6. Другие специальные функции.
- Гамма-функция. Ряды Дирихле и L-функции. Дзета-функция.
Приложения к арифметике. Периодические и квазипериодические функции.
Модулярные функции.
- 7. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
- Стандартные примеры.
- 8. Асимптотические оценки.
- Определение асимптотического разложения. Метод перевала.
Приложения: формула Стирлинга, асимптотика ортогональных многочленов.
- 9. Нерешенные проблемы.
- Нули дзета-функции. Проблема коэффициентов. Элементарное доказательство
теоремы о коммутирующих многочленах.
