На главную страницу НМУ

И.В.Аржанцев (I.Arjantsev)

Аффинные группы Вейля и группы Кокстера (Affine Weyl goroups and Coxeter groups)

Курс по мотивам глав 4-6 книги J. Humphreys "Reflection groups and Coxeter groups"

Курс, рассчитанный на второкурсников, является продложением курса, читавшегося в прошлом семестре.

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript (38K)|Zipped postscript (15K)]

Программа

1. Аффинные отражения, аффинные группы Вейля $W_a$ (конструкция, использующая кристаллографические системы корней).
2. Альковы. Старший корень. Разделяющие гиперплоскости. Просто транзитивное действие на альковах. Условие обмена.
3. Граф Кокстера и расширенная диаграмма Дынкина.
4. Фундаментальная область. Формула для порядка $W$.
5. Аксиоматическое определение аффинных групп Вейля как групп, порожденных дискретным набором аффинных отражений.
6. Системы Кокстера и группы Кокстера. Примеры: группы отражений, аффинные группы Вейля, универсальные группы Кокстера, группа $PGL_2(Z)$. Функция длины.
7. Геометрическая реализация группы Кокстера. Положительные и отрицательные корни.
8. Параболические подгруппы. Геометрическая интерпретация функции длины. Корни и отражения. Сильное условие обмена.
9. Порядок Брюа. Примеры. Критерий в терминах подслов. Соседние элементы в порядке Брюа.
10. Формула для индуктивного вычисления ряда Пуанкаре. Фундаментальная область.
11. Радикал билинейной функции и инвариантные подпространства в геометрической реализации. Конечные группы Кокстера.
12. Кристаллографические группы Кокстера.
13. Группы Кокстера ранга три.
14. Гиперболические группы Кокстера.

Литература

J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.

Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Совр. проб. мат., Фунд. направления - 1988 - том 29 (Геометрия-2) - стр. 147 - 264.

Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.