На главную страницу НМУ

А.М.Вербовецкий, И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений

В весеннем семестре 2008-2009 года продолжит работу семинар «Когомологиские аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.

Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.

Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.

Если вы хотите получать рассылку информации о текущей программе семинара, сообщите, пожалуйста, по адресу verbovet блямба mccme.ru

22 апреля
Докладчик: В.Трушков
Тема: Обобщённые системы Ландау-Лифшица и алгебры Ли связанные с кривыми высших родов. Совместная работа с С.Игониным, J.van de Leur и G.Manno.

15 апреля
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Что такое кокасательное расслоение к дифференциальному уравнению? (часть 8)

Аннотация:

В докладе будет рассказано о том, как можно построить симплектическую структуру на кокасательном накрытии к уравнению не вкладывая это уравнение в пространство джетов, т.е. используя только его внутреннюю геометрию.

Инвариантная конструкция самого кокасательного накрытия, обсуждавшаяся 18 марта, будет заново рассказана в слегка изменённом виде.

1 апреля
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Обсуждение работы E.V. Ferapontov, A. Moro, V.S. Novikov, Integrable equations in 2+1-dimensions: deformations of dispersionless limits

Аннотация:

Классифицируются интегрируемые системы третьего порядка в размерности 2+1, обобщающие такие уравнения, как уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Веселова-Новикова и Гарри Дима. Подход авторов основан на следующем наблюдении: бездисперсионный предел такого рода уравнений обладает большим числом многофазных решений, происходящих из так называемой гидродинамической редукции. Обратно, требование существования такой редукции даёт эффективный критерий классификации. Используемый в работе подход к классификации апеллирует также к теории возмущений (деформаций). С помощью метода гидродинамической редукции сначала классифицируются квазилинейные системы, получаемые как бездисперсионный предел солитонных уравнений, а затем, на основе некоторых предположений, восстанавливаются "дисперсионные деформации". Эта процедура позволяет получить полный список интегрируемых уравнений третьего порядка; некоторые из них, по-видимому, являются новыми.

8 апреля
Докладчик: В.Трушков
Тема: Вычисление симметрий и законов сохранения в системе Mathematica

Аннотация:

Я расскажу о том, как ввожу полные производные в Mathematica и вычисляю симметрии, законы, сохранения, операторы рекурсии, гамильтоновы структуры для l-нормальных уравнений.

25 марта
Докладчик: В.Четвериков
Тема: Задача плоскостности и преобразование C-спектральных последовательностей (часть 2)

Аннотация:

Известное описание члена E_1 C-спектральной последовательности Виноградова для пространства джетов зависит от выбора модульной структуры на алгебре высших симметрий над кольцом гладких функций. Переходы от одной модульной структуры к другой задаются обратимыми C-дифференциальными операторами и определяют преобразования C-спектральных последовательностей.

Задача плоскостности состоит в ответе на вопрос: можно ли заданную систему дифференциальных уравнений преобразовать в пространство джетов? Положительный ответ на данный вопрос означает, что, во-первых, алгебра высших симметрий системы снабжается модульной структурой, и во-вторых, существует обратимый C-дифференциальный оператор, который преобразует C-спектральную последовательность системы в C-спектральную последовательность пространства джетов.

Во втором докладе на эту тему мы вернёмся к выводу уравнений на указанный оператор и обратный к нему. Покажем, что уравнение на один из этих операторов линейное, при этом среди всех решений необходимо выделить обратимый оператор. Уравнение на обратный оператор квадратичное, а любое его решение есть обратимый оператор. Предполагается обсудить структуру этих уравнений и их следствий, а также возможные методы их решения.

18 марта
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Что такое кокасательное расслоение к дифференциальному уравнению? (часть 7)

Аннотация:

Планируется обсудить (неформально) зависимость l^*-накрытия над уравнением и канонической симплектической структуры на нём от вложения этого уравнения в объемлющее пространство джетов.

11 марта
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: О линеаризации систем уравнении Монжа-Ампера

Аннотация:

Доклад посвящен дифференциально-геометрическим структурам, ассоциированным с системами уравнений Монжа-Ампера на многообразиях, и их применению к линеаризации этих уравнений. Рассматриваются системы уравнений Монжа-Ампера локально эквивалентные треугольным и полутреугольным системам, системам линейным относительно производных (полулинейным), имеющим постоянные коэффициенты, а также системы в полных дифференциалах. Доказаны эффективно проверяемые признаки, позволяющие определить, когда данная система уравнений Монжа-Ампера принадлежит указанным типам. В качестве следствий получены условия локальной сводимости системы Монжа-Ампера к одному уравнению второго и первого порядка.

4 марта
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Обзор некоторых новых поступлений в arXiv

25 февраля
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты тканей на 2-мерных многообразиях

Аннотация:

В докладе будет построена алгебра скалярных дифференциальных инвариантов n-тканей на 2-мерном многообразии. Будут вычислены инвариантные дифференцирования этой алгебры, её образующие и все дифференциальные соотношения между образующими.

18 февраля
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: Geodesic webs of hypersurfaces (доклад на русском языке)

Аннотация:

Geometric structures associated with foliations (or webs) of hypersurfaces are studied. We show that with any geodesic (n+2)-web on n-dimensional manifold there is a unique projective structure, naturally associated with the web, and, provided that one of web foliations is pointed, there is also associated a unique affine structure. The projective structure can be chosen by the claim that the leaves of all web foliations are totally geodesic, and the affine structure by an additional claim that one of web functions is affine. These structures allow us to determine differential invariants of geodesic webs and give geometrically clear answers to some classical problems of the web theory such as the web linearization and the Gronwall theorem.