На главную страницу НМУ
Д.А.Звонкин (D.Zvonkine)
Теория функций комплексного переменного (Complex analysis)
(4-ый семестр)
Листки (exercise sheets)
[Листок 1 (27K)|Листок 2 (27K)|Листок 3 (29K)|Листок 4 (26K)|Листок 5 (32K)|Листок 6 (29K)|Листок 7 (29K)|Листок 8 (23K)|Листок 9 (31K)|Листок 10 (23K)]
Postscript
Zipped postscript
[Листок 1 (12K)|Листок 2 (12K)|Листок 3 (13K)|Листок 4 (12K)|Листок 5 (14K)|Листок 6 (13K)|Листок 7 (13K)|Листок 8 (10K)|Листок 9 (14K)|Листок 10 (10K)]
Теоретические вопросы (Theory questions)
[Postscript (23K)|Postscript (10K)]
Экзамен; решения задач экзамена (Exam problems and their
solutions)
Postscript
[Problems (29K)|Solutions (64K)]
Zipped postscript
[Problems (13K)|Solutions (26K)]
Программа курса
- Голоморфные и мероморфные функции и их свойства.
Разные определения голоморфности и их эквивалентность: степенные ряды,
радиус сходимости, формула Коши, конформность,
связь с гармоническими функциями.
Основные теоремы:
- лемма Шварца;
- принцип максимума;
- теорема Лиувилля;
- радиус сходимости ряда Тэйлора или Лорана равен расстоянию до
ближайшей особой точки;
- аналитическое продолжение вдоль пути;
- классификация изолированных особенностей;
- теорема Вейерштрасса;
- принцип компактности в области на плоскости;
- теорема униформизации Римана для односвязных областей комплексной
плоскости
(эта теорема была доказана позже, чтобы поскорее перейти от теории к
практике).
- Применения теоремы о вычетах.
- Оценки, суммирование рядов, вычисление интегралов, подсчёт нулей и полюсов.
- Построение мероморфной фукции на плоскости с заданными главными
частями полюсов в заданных точках, например tg z.
- Построение и разложение на множители целой функции с заданными нулями,
например sin z.
- Специальные функции.
Гамма-функция и дзета-функция.
- преобразование Меллина;
- доказательство мероморфности на всей комплексной плоскости;
- функциональное уравнение;
- числа Бернулли;
- значения дзета-функции в чётных положительных и целых отрицательных точках;
- все нули дзета-функции, кроме чётных отрицательных лежат в полосе 0≤Re z≤1;
- асимптотическое разложение гамма-функции в бесконечности.
Эллиптические функции:
- P-функция Вейерштрасса;
- количество нулей и полюсов в фундаментальном параллелограмме;
- сумма нулей и полюсов по модулю решётки;
- все двояко-периодические функции выражаются через функцию Вейерштрасса;
- эллиптические функции Якоби, применение для решения уравнения маятника.
Модулярные формы относительно группы SL(2,Z):
- ряды Эйзенштейна E_k;
- размерность пространства форм данного веса;
- любая модулярная форма - многочлен от E_4 и E_6;
- q-разложение рядов Эйзенштейна;
- функция j;
- операторы Гекке;
- квазимодулярная форма E_2;
- разложение j на множители;
- малая теорема Пикара.
L-функции для характеров по модулю m:
- ряды Дирихле и их сходимость;
- определение L-функций;
- регулярность в s=1;
- теорема Дирихле о простых числах.
- Римановы поверхности.
- Определение;
- разветвлённые накрытия;
- теорема Римана о продолжении комплексной структуры в точки ветвления;
- формула Римана-Гурвица для рода накрытия;
- почти комплексная структура на гладкой поверхности задаёт структуру
римановой поверхности;
- понятие гармонической функции инвариантно;
- понятия касательного пространства к комплексному многообразию.
Далее было сформулировано без доказательства несколько фактов:
- классификация односвязных римановых поверхностей;
- на компактной поверхности рода g есть ровно g линейно
независимых голоморфных 1-форм;
- на любой римановой поверхности есть много мероморфных функций.
Эти факты использовались для дальнейшего:
- Законы взаимности;
- приведение матрицы периодов к каноническому виду;
- формула Римана-Роха.
