На главную страницу НМУ

В.В.Доценко

Ассоциативные алгебры

(рекомендовано дял 2-3 курсов)

Курс рассчитан на студентов 2-3 года обучения (и сильных первокурсников). Я планирую обсуждать два больших цельных сюжета — это, во-первых, комбинаторные и вычислительные вопросы, связанные с ассоциативными алгебрами (ряды градуированных алгебр и модулей над ними, базисы Грёбнера итд), и, во — вторых, кошулева двойственность для квадратичных алгебр — а в оставшееся разобрать некоторые избранные красивые факты, не связанные непосредственно с предыдущими сюжетами и друг с другом.

1. Градуированные алгебры. Рациональность ряда Гильберта. Теоремы Гильберта-Серра и Говорова.
2. Базисы Грёбнера. Diamond lemma в коммутативном и некоммутативном случае.
3. Резольвенты. Комплекс Кошуля. Резольвента Аника.
4. Теорема Голода-Шафаревича.
5. Регулярные последовательности. Комплекс Кошуля.
6. Некоммутативная версия полного пересечения. Комплекс Шафаревича.
7. Гомологии Хохшильда. Бар-резольвента.
8. Кошулева двойственность. Квадратичные кошулевы алгебры. Комплекс Кошуля квадратичной алгебры.
9. Алгебры путей. Представления колчанов (обзор и избранные доказательства).
10. Тождества в алгебрах. Теорема Амицура-Левицкого.
11. Центральные простые алгебры. Алгебры с делением. Тела над C, R, F_q.
12. Теорема Гильберта о нулях. Теорема Тзена.

Последние 3-4 сюжета будут обсуждаться при наличии времени (на все времени почти точно не хватит, так что желания слушателей могут сыграть важную роль при выборе).

Литература

Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

Polishchuk A., Positselski L. Quadratic algebras. AMS, 2005

Уфнаровский В.А. Алгебра-6. ВИНИТИ, т. 57.

Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.