Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/s07/EVT.html
Дата изменения: Thu Dec 14 17:54:04 2006
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:35:46 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п
|
На главную страницу НМУ
А.Ю.Пирковский
Топологические векторные пространства,
топологические алгебры и их применения в геометрии
Рекомендовано для 4-5 курса
Предполагается рассказать об основных понятиях теории
топологических векторных пространств (в первую очередь —
пространств Фреше), уделяя при этом особое внимание
топологическим тензорным произведениям и ядерным пространствам.
Далее будут изложены основы гомологической теории в категориях
модулей Фреше над алгебрами Фреше. Наконец, будет рассказано о
нескольких приложениях теории топологических векторных
пространств и алгебр в комплексной геометрии, в том числе, об
одном доказательстве теоремы Грауэрта о прямом образе.
Требования к подготовке слушателей
Для понимания курса достаточно знаний в объеме первого
семестра стандартного университетского курса по функциональному
анализу (нормированные и банаховы пространства, ограниченные
линейные операторы, теорема Хана-Банаха, сопряженное
пространство, сопряженный оператор). Полезно (но не обязательно,
если слушатель готов принять часть материала на веру) некоторое
знакомство с комплексными пространствами и аналитическими
пучками.
Примерная программа курса
- Топологические векторные пространства и алгебры
- Топологические векторные пространства. Полунормы. Локально выпуклые пространства.
Непрерывные линейные отображения. Примеры: пространства гладких и голоморфных
функций, пространство Шварца, пространства Кёте.
- Метризуемые и полные локально выпуклые пространства.
Пополнение. Пространства Фреше и их достоинства. Теорема об открытом отображении.
- Конструкции: факторпространства, произведения и копроизведения, обратные
и прямые пределы. Пример: пространства непрерывных и гладких функций с компактным
носителем.
- Двойственность. Слабая топология, топология Макки, сильная топология,
их свойства. Примеры: пространства распределений (обобщенных функций).
Рефлексивные пространства.
- Билинейные отображения. Проективное и инъективное тензорные произведения.
Проективное тензорное произведение на пространства типа $L^1$.
Функториальные свойства проективного и инъективного тензорных произведений.
- Компактные и ядерные отображения.
Ядерные пространства. Примеры.
Тензорные произведения на пространства голоморфных функций.
Функториальные свойства тензорного произведения на ядерное пространство.
- Топологические алгебры. Примеры: алгебры непрерывных,
гладких, голоморфных функций, распределений.
Топологические модули.
- Гомологическая алгебра в категориях модулей Фреше
("топологическая гомология")
- Стандартная гомологическая техника: комплексы, гомологии, точность,
длинная точная последовательность гомологий, гомотопии, расщепимость.
- Допустимые морфизмы модулей Фреше. Проективные и свободные модули Фреше.
Проективные резольвенты, теорема сравнения.
Примеры: бар-резольвента, резольвента Кошуля для алгебр голоморфных функций.
- Производные функторы. Функторы Ext и Tor.
- Геометрические приложения
- Обзор теории когомологий пучков.
- Обзор комплексной геометрии: комплексные многообразия, комплексные пространства,
когерентные аналитические пучки, пространства Штейна.
- Каноническая топология на алгебрах голоморфных функций и на
модулях сечений когерентных аналитических пучков. Свойства канонической
топологии.
Тензорные произведения.
- Теорема Картана-Серра о конечномерности когомологий когерентных
пучков на компактном многообразии.
- Теорема Грауэрта о прямом образе.