Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/s06/fa.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:01:33 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:18:45 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: vallis
|
На главную страницу НМУ
А.Ю.Пирковский
Линейный функциональный анализ
Рекомендовано для студентов 3 курса
Цели
Предполагается рассказать об основных понятиях и теоремах
линейного функционального анализа — точнее, теории
банаховых пространств и ограниченных линейных операторов. По
возможности будет подчеркиваться общекатегорный смысл вводимых
понятий и доказываемых утверждений. Общая теория будет
сопровождаться должным количеством конкретных примеров.
Требования к подготовке слушателей:
более чем достаточно знаний в объеме стандартных курсов матанализа
и линейной алгебры. Желательно (хотя и не обязательно) некоторое
знакомство с метрическими пространствами.
Примерная программа курса
- 0. Категории и функторы:
- основные понятия и примеры.
- 1. Нормированные пространства и
непрерывные линейные операторы.
- Нормированные пространства. Базовые примеры: пространства
последовательностей и непрерывных функций. Непрерывные линейные операторы.
Непрерывность и ограниченность. Норма оператора и пространство
линейных операторов. Примеры:
диагональные операторы, операторы умножения, интегральные операторы,
операторы сдвига. Категории Norm и Norm_1.
Общие конструкции (подпространства, факторпространства,
прямые суммы\dots)
- 2. Специфика бесконечномерного.
- Конечномерные пространства: эквивалентность норм.
Примеры неэквивалентных норм на бесконечномерных пространствах.
Некомпактность единичного шара в бесконечномерном
нормированном пространстве.
- 3. Полнота.
- Полнота; банаховы пространства. Классические примеры банаховых пространств.
Категории Ban и Ban_1.
Пополнение и его категорный смысл.
Топологически инъективные и открытые операторы.
Теорема Банаха об обратном операторе, ее эквивалентные формулировки
и следствия.
- 4. Линейные функционалы и двойственность.
- Полунормы, теорема Хана-Банаха.
Сопряженное пространство и сопряженный оператор.
Примеры сопряженных пространств.
Каноническое вложение во второе сопряженное. Рефлексивность.
Топология, определяемая системой полунорм. Примеры: пространства
непрерывных, дифференцируемых и голоморфных функций.
Слабая топология на нормированном пространстве и слабая* топология на его
сопряженном. Аннуляторы; пространство, сопряженное к подпространству
и к факторпространству. Банаховы комплексы. Связь точности банахова
комплекса с точностью его сопряженного.
- 4. Интеграл Лебега:
- краткое введение (по желанию слушателей).
Пространства интегрируемых функций.
- 5. Гильбертовы пространства и операторы в них.
- Скалярное произведение. Ортогональность, неравенство Бесселя,
неравенство Коши-Буняковского, тождества параллелограмма и поляризации.
Гильбертово пространство; примеры.
Ортогональные разложения. Лемма Рисса (линейные функционалы на
гильбертовом пространстве).
Ортонормированные базисы. Равенство Парсеваля. Ортогонализация.
Теорема Рисса-Фишера.
Изоморфизм бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств.
Тригонометрический базис в L^2(T). Ряды Фурье.
Операторы в гильбертовом пространстве.
(Эрмитово) сопряженный оператор. C^*-свойство операторной нормы.
Ортогональные проекторы.
Самосопряженные, нормальные и унитарные операторы; примеры.
Унитарная эквивалентность.
- 6. Спектр оператора.
- Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра.
Банаховы алгебры: основные примеры. Открытость множества
обратимых элементов. Непустота и компактность спектра.
Части спектра оператора (точечный, непрерывный, остаточный и др.).
Двойственность: спектр сопряженного оператора.
Спектр самосопряженного и унитарного оператора.
Вычисление спектра конкретных операторов.
- 6. Компактные и фредгольмовы операторы.
- Общие свойства компактных операторов.
Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы.
Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса.
Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора.
Теорема Гильберта о диагонализации компактных самосопряженных операторов.
Возможные темы для дальнейших обсуждений
(при условии наличия времени и желания слушателей):
- 1. Тензорные произведения
- банаховых пространств.
Проективное и инъективное тензорное произведения. Примеры: проективное
тензорное произведение на L^1-пространство и инъективное
тензорное произведение на пространство непрерывных функций.
Функториальные свойства. Формулы сопряженной ассоциативности.
Связь с ядерными и интегральными операторами.
- 2. Топологические векторные пространства.
- Локально выпуклые пространства. Полнота. Пространства Фреше.
Двойственность. Различные топологии на сопряженном.
Конструкции (произведения, суммы, пределы).
Пространства Шварца и ядерные пространства.
- 3. Теплицевы операторы.
- Пространства Харди. Функциональная модель оператора сдвига
и описание его инвариантных подпространств. Теплицевы операторы
и их спектральные свойства. Критерий фредгольмовости.
Существенный спектр как множество значений символа. Топологическая
интерпретация индекса теплицева оператора.
- 4. Основные сведения о банаховых алгебрах
-
- 5. Спектральная теорема
- для нормального оператора.