Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/s05/pde.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:01:34 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:30:01 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: п п п п п
|
На главную страницу НМУ
А.М.Филимонов
Уравнения с частными производными (вводный курс)
Комментарий
Курс носит вводный характер и сопровождается большим
количеством модельных примеров и физических интерпретаций.
Настоящий курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем
семестре. Однако, изложение материала почти не будет
опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения из
предыдущего будут кратко напоминаться с указанием литературных
источников, из которых можно почерпнуть детали. Необходимые
сведения по функциональному анализу будут сообщаться по ходу
изложения. Курс этого семестра можно будет сдавать, как отдельный
курс.
Программа
- Метод "бегущих волн".
- Факторизация одномерного волнового
оператора. Обобщения. Пример: система Дирака. Волны от движущегося
источника. Что может быть, если скорость движения источника выше
скорости звука? Некоторые обобщения идеи "бегущей волны".
Многомерные варианты.
- Метод "стоячих волн".
- Спор о струне между Эйлером,
Д'Аламбером, Бернулли и Лагранжем.
Метод Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана?
Особенности спектральных задач для
ограниченных и неограниченных областей. Уравнение Шредингера.
Связь возможности разделения переменных и симметрия области.
Преобразование Фурье и его применение.
Линейные уравнения высших порядков. Парадокс КМФ. Связь с
линейным вариантом проблемы Ферми-Паста-Улама.
- "Стоячие волны" в нелинейных задачах.
- Что из метода Фурье может
пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант
проблемы Ферми-Паста-Улама. Связь с колмогоровскими
поперечниками соболевских классов функций.
- Вариационный метод.
- Вариационный метод. Принцип наименьшего действия. Всегда
ли действие является наименьшим? Задача о минимуме квадратичного
функционала. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и
его интерпретация. Простейшие варианты теорем вложения
Соболева. Следы. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение
Софи Жермен). Экстремальные свойства собственных значений. Метод
Ритца. Теорема Канторовича. Вариационный подход в нелинейных
задачах.