Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/s04/teichmueller.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:01:06 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 11:34:20 2012
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: рассеянное скопление
Quasiconformal mappings and their applications (Spring 2004)

На главную страницу НМУ

А.А.Глуцюк (ENS-Lyon)

Квазиконформные отображения и некоторые их применения в динамике

(Миникурс: с 5 по 26 апреля по понедельникам и средам)

Почти комплексная структура на двумерной вещественной поверхности определяется следующим образом: на каждой касательной плоскости задаётся структура одномерного комплексного линейного пространства, т.е., "оператор умножения на i".

Всякая структура римановой поверхности задаётся почти комплексной структурой. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение: всякая "хорошая" почти комплексная структура на двумерной поверхности интегрируема, т.е., допускает голоморфный атлас.

"Хорошая структура" означает "измеримая с ограниченной дилатацией".

Каждая голоморфная карта задается квазиконформным гомеоморфизмом (грубо говоря, гомеоморфизмом, дифференцируемым почти всюду и имеющим равномерно ограниченную дилатацию во всех точках поверхности. Из теоремы интегрируемости следует

Теорема о квазиконформном отображении. Всякая "хорошая" почти комплексная структура на сфере Римана переводится в стандартную комплексную структуру подходяшим квазиконформным гомеоморфизмом (последний - единственен с точностью до композиции с конформным преобразованием).

Теорема об интегрируемости легко доказывается в случае аналитической почти комплексной структуры (доказательство принадлежит Гауссу). Уже в гладком случае доказательство довольно нетривиально (оно было получено Корном, Лихтенштейном, Ньюлендером, Ниренбергом...).

Общий измеримый случай теоремы о квазиконформном отображении (доказанный С.Морри) имеет многочисленные важные применения в разных областях математики, в первую очередь, в голоморфной динамике (например, при доказательстве теоремы Сулливана об отсутствии блуждающих компонент множества Фату) и теории Клейновых групп. Грубо говоря, наличие нестандартной почти комплексной структуры, инвариантной относительно рационального преобразования (или некоторой группы конформных преобразований) сферы Римана, даёт возможно нетривиально деформировать преобразование (группу) в соответствуюшем классе преобразований (групп) с сохранением динамики действия.

В миникурсе будет рассказано о применениях теоремы о квазиконформном отображении (включая теорему Сулливана, упомянутую выше, и теорему Берса об одновременной униформизации). На последних лекциях будет дано новое доказательство (полученное докладчиком) теоремы о квазиконформном отображении. Из первого шага доказательства будет выведена теорема Пуанкаре-Кёбе о классификации односвязных римановых поверхностей.

Программа

1. Почти комплексные структуры и теорема о квазиконформном отображении. Теорема Альфорса--Берса о голоморфности квазиконформного отображения по параметру. Пример применения: число вращения как предел модуля вырождающегося комплексного тора.

2. Введение в голоморфную динамику. Доказательство теоремы Сулливана.

3. Теорема Манье--Сада--Сулливана о структурной устойчивости. Голоморфные движения и теорема Слодковского.

4. Неустойчивость недискретных свободных подгрупп в $PSL_2(\mathbb C)$: короткое доказательство с использованием теоремы Альфорса--Берса.

5. Теорема Берса об одновременной униформизации.

6. Теорема о квазиконформном отображении для гладкой почти комплексной структуры на торе. Её доказательство и вывод теоремы о классификации односвязных римановых поверхностей.

7. Неравенство Грёча. Вывод общей измеримой теоремы о квазиконформном отображении.

Литература

1. Ahlfors, L. Lectures on quasiconformal mappings. - Wadsworth (1987).

2. Любич, М.Ю. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина. - УМН 41 (1986), No 4 (250), 35--95.

3. Bers, L. Simultaneous uniformization. - Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 94--97.

4. Glutsyuk, A. Simple proofs of uniformization theorems. - To appear.


Rambler's Top100