На главную страницу НМУ
А.Ю.Пирковский
Совместный спектр Тэйлора
и пучковые модели линейных операторов
Предполагается рассказать несколько сюжетов из современной
спектральной теории, лежащих на стыке функционального анализа,
гомологической алгебры и многомерного комплексного анализа.
Вначале будут изложены элементы "классической"
спектральной теории от одного оператора.
Совместный спектр Тэйлора
Спектр линейного оператора $T$ в комплексном векторном
пространстве $X$ --- это множество $\sigma(T)\subset\CC$,
состоящее из тех $\lambda\in\CC$, для которых оператор
$T-\lambda$ необратим. Если $E$ --- банахово пространство, а $T$
ограничен, то у спектра есть следующие важные свойства:
- $\sigma(T)$ компактен и непуст.
- В любой окрестности
$U\supset\sigma(T)$ существует голоморфное исчисление от $T$
(т.е. для каждой голоморфной в $U$ функции $f$ определен оператор
$f(T)$, и соответствие $f\mapsto f(T)$ удовлетворяет некоторым
естественным требованиям).
- При этом
$\sigma(f(T))=f(\sigma(T))$ (теорема об отображении спектра).
- $\sigma(T)$ --- наименьший компакт с перечисленными
свойствами.
Пусть теперь $(T_1,\ldots ,T_n)$ --- набор попарно коммутирующих
операторов в $E$. Что следует называть их совместным спектром?
Желательно, чтобы совместный спектр лежал в $\CC^n$, обладал
перечисленными выше свойствами и при $n=1$ сводился к обычному
спектру оператора. Подходящее определение совместного спектра
предложил Дж. Тэйлор в 1970 г. Интересно, что это определение
выглядит несколько неожиданным (на первый взгляд, "слишком
алгебраическим"), а доказательства перечисленных выше свойств
широко используют методы гомологической алгебры и многомерного
комплексного анализа.
Пучковые модели
Довольно часто оказывается, что спектральное поведение
оператора можно "локализовать". Например, из теоремы о
жордановой нормальной форме следует, что оператор в конечномерном
пространстве можно разложить в прямую сумму операторов с
одноточечными спектрами. В более общей ситуации для любого
открытого покрытия $\{ U_i\}$ спектра оператора удается построить
семейство операторов $\{ T_i\}$ так, что $\sigma(T_i)\subset
U_i$, и оператор $T$ в некотором смысле
"восстанавливается" по этому семейству. Развитие этих
идей привело к пониманию того, что вся спектральная информация об
операторе должна содержаться в некотором геометрическом объекте
(бесконечномерном векторном расслоении или же пучке),
сосредоточенном на спектре оператора; сам же оператор оказывается
оператором умножения на "независимую переменную" в
пространстве сечений этого расслоения или пучка. Это и есть
пучковая модель оператора. Как оказалось, многие классические
свойства оператора естественно формулируются в теоретико-пучковых
терминах, что дает новые эффективные методы для их
исследования. Основы этой науки были заложены в середине 1980-ых
гг. Й. Эшмайером и М. Путинаром (для более общего
случая нескольких коммутирующих операторов).
Требования к подготовке слушателей:
по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из
алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них,
кольца и модули), ТФКП (основные свойства аналитических функций,
степенные ряды), теории метрических пространств (полнота,
компактность). Также желательно некоторое знакомство с основными
понятиями функционального анализа: нормированными пространствами,
линейными операторами и т.п. Впрочем, все необходимые сведения
будут напоминаться по ходу дела.
Примерная программа курса
1. Спектр и голоморфное исчисление: случай одного оператора
- Классическая теория.
- Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра.
Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции.
Непустота и компактность спектра элемента
банаховой алгебры. Спектры ограниченных операторов и примеры
их вычисления. Полинормированные (=локально выпуклые)
пространства и алгебры: первоначальные сведения. Голоморфное функциональное
исчисление. Теорема об отображении спектра.
- Алгебраическая интерпретация классической теории.
- Банаховы и полинормированные модули.
Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов
и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй
целых функций. Пространство максимальных идеалов как "место обитания"
спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об
отображении спектра.
2. Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление
от нескольких коммутирующих операторов
- Элементы гомологической алгебры (алгебраический
и функционально-аналитический варианты)
- Комплексы, гомологии, проективные модули, проективные резольвенты,
производные функторы. Топологические тензорные произведения
и функтор Tor. Резольвента Кошуля для алгебры многочленов
и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах
функтора Tor.
- Голоморфное исчисление на спектре Тэйлора
- Совместный спектр Тэйлора и примеры его вычисления.
Функциональное исчисление: постановка задачи.
Параметризованные банаховы комплексы: открытость ``множества точности''.
Применение: эквивалентные определения спектра. Замечания об аналитических
пучках. Алгебраический формализм: комплекс, доминирующий над модулем,
и соотношения трансверсальности для модулей. Комплекс Чеха и построение
голоморфного исчисления на совместном спектре.
- Свойства голоморфного исчисления
- (Сюжеты,
помеченные звездочкой, возможно, будут сокращены или опущены,
поскольку для их подробного изложения требуется довольно много времени.)
Дальнейшие сведения о топологических тензорных произведениях.
Ядерные пространства и их гомологические свойства.
Некоторые факты из комплексной аналитической геометрии:
аналитические пучки, их когомологии, области голоморфности.
Теорема единственности голоморфного исчисления на области голоморфности.
Неединственность для произвольных областей. Теорема об отображении
спектра.
- Замечания о других совместных спектрах:
- спектр Харта, спектр относительно коммутативной подалгебры и др.
3. Пучковые модели и элементы локальной спектральной теории
- Пучковые модели.
- Пучки Фреше; примеры. Пучковая модель оператора.
Конечномерный случай. Пучковые модели для "модельных"
примеров операторов
(диагональные операторы, операторы умножения, операторы сдвига).
Пространство Харди. Инвариантные подпространства оператора сдвига.
- Операторы, обладающие пучковой моделью.
- Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство
(\beta) Бишопа. Примеры и контрпримеры. Разложимые операторы.
Каноническая пучковая модель оператора со свойством (\beta).
- Свойство (\beta) и квазикогерентность.
- Квазикогерентные аналитические пучки Фреше: определение и общие
свойства. Квазикогерентные модули Фреше. Эквивалентность свойства
(\beta) линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели.
- Локальные спектральные свойства.
- Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов.
Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели.
Локальные спектральные подпространства и их свойства.
Описание локальных спектральных подпространств оператора со
свойством (\beta) в пучковых терминах.
- Разложимость и мягкость*.
- Мягкие пучки. Эквивалентность разложимости оператора и мягкости
его пучковой модели.
