На главную страницу НМУ

А.Ю.Пирковский

Совместный спектр Тэйлора и пучковые модели линейных операторов

Предполагается рассказать несколько сюжетов из современной спектральной теории, лежащих на стыке функционального анализа, гомологической алгебры и многомерного комплексного анализа. Вначале будут изложены элементы "классической" спектральной теории от одного оператора.

Совместный спектр Тэйлора

Спектр линейного оператора $T$ в комплексном векторном пространстве $X$ --- это множество $\sigma(T)\subset\CC$, состоящее из тех $\lambda\in\CC$, для которых оператор $T-\lambda$ необратим. Если $E$ --- банахово пространство, а $T$ ограничен, то у спектра есть следующие важные свойства:

• $\sigma(T)$ компактен и непуст.
• В любой окрестности $U\supset\sigma(T)$ существует голоморфное исчисление от $T$ (т.е. для каждой голоморфной в $U$ функции $f$ определен оператор $f(T)$, и соответствие $f\mapsto f(T)$ удовлетворяет некоторым естественным требованиям).
• При этом $\sigma(f(T))=f(\sigma(T))$ (теорема об отображении спектра).
• $\sigma(T)$ --- наименьший компакт с перечисленными свойствами.

Пусть теперь $(T_1,\ldots ,T_n)$ --- набор попарно коммутирующих операторов в $E$. Что следует называть их совместным спектром? Желательно, чтобы совместный спектр лежал в $\CC^n$, обладал перечисленными выше свойствами и при $n=1$ сводился к обычному спектру оператора. Подходящее определение совместного спектра предложил Дж. Тэйлор в 1970 г. Интересно, что это определение выглядит несколько неожиданным (на первый взгляд, "слишком алгебраическим"), а доказательства перечисленных выше свойств широко используют методы гомологической алгебры и многомерного комплексного анализа.

Пучковые модели

Довольно часто оказывается, что спектральное поведение оператора можно "локализовать". Например, из теоремы о жордановой нормальной форме следует, что оператор в конечномерном пространстве можно разложить в прямую сумму операторов с одноточечными спектрами. В более общей ситуации для любого открытого покрытия $\{ U_i\}$ спектра оператора удается построить семейство операторов $\{ T_i\}$ так, что $\sigma(T_i)\subset U_i$, и оператор $T$ в некотором смысле "восстанавливается" по этому семейству. Развитие этих идей привело к пониманию того, что вся спектральная информация об операторе должна содержаться в некотором геометрическом объекте (бесконечномерном векторном расслоении или же пучке), сосредоточенном на спектре оператора; сам же оператор оказывается оператором умножения на "независимую переменную" в пространстве сечений этого расслоения или пучка. Это и есть пучковая модель оператора. Как оказалось, многие классические свойства оператора естественно формулируются в теоретико-пучковых терминах, что дает новые эффективные методы для их исследования. Основы этой науки были заложены в середине 1980-ых гг. Й. Эшмайером и М. Путинаром (для более общего случая нескольких коммутирующих операторов).

Требования к подготовке слушателей:

по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них, кольца и модули), ТФКП (основные свойства аналитических функций, степенные ряды), теории метрических пространств (полнота, компактность). Также желательно некоторое знакомство с основными понятиями функционального анализа: нормированными пространствами, линейными операторами и т.п. Впрочем, все необходимые сведения будут напоминаться по ходу дела.

Примерная программа курса

1. Спектр и голоморфное исчисление: случай одного оператора

Классическая теория.

Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции. Непустота и компактность спектра элемента банаховой алгебры. Спектры ограниченных операторов и примеры их вычисления. Полинормированные (=локально выпуклые) пространства и алгебры: первоначальные сведения. Голоморфное функциональное исчисление. Теорема об отображении спектра.

Алгебраическая интерпретация классической теории.

Банаховы и полинормированные модули. Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй целых функций. Пространство максимальных идеалов как "место обитания" спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об отображении спектра.

2. Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление от нескольких коммутирующих операторов

Элементы гомологической алгебры (алгебраический и функционально-аналитический варианты)

Комплексы, гомологии, проективные модули, проективные резольвенты, производные функторы. Топологические тензорные произведения и функтор Tor. Резольвента Кошуля для алгебры многочленов и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах функтора Tor.

Голоморфное исчисление на спектре Тэйлора

Совместный спектр Тэйлора и примеры его вычисления. Функциональное исчисление: постановка задачи. Параметризованные банаховы комплексы: открытость ``множества точности''. Применение: эквивалентные определения спектра. Замечания об аналитических пучках. Алгебраический формализм: комплекс, доминирующий над модулем, и соотношения трансверсальности для модулей. Комплекс Чеха и построение голоморфного исчисления на совместном спектре.

Свойства голоморфного исчисления

(Сюжеты, помеченные звездочкой, возможно, будут сокращены или опущены, поскольку для их подробного изложения требуется довольно много времени.) Дальнейшие сведения о топологических тензорных произведениях. Ядерные пространства и их гомологические свойства. Некоторые факты из комплексной аналитической геометрии: аналитические пучки, их когомологии, области голоморфности. Теорема единственности голоморфного исчисления на области голоморфности. Неединственность для произвольных областей. Теорема об отображении спектра.

Замечания о других совместных спектрах:

спектр Харта, спектр относительно коммутативной подалгебры и др.

3. Пучковые модели и элементы локальной спектральной теории

Пучковые модели.

Пучки Фреше; примеры. Пучковая модель оператора. Конечномерный случай. Пучковые модели для "модельных" примеров операторов (диагональные операторы, операторы умножения, операторы сдвига). Пространство Харди. Инвариантные подпространства оператора сдвига.

Операторы, обладающие пучковой моделью.

Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство (\beta) Бишопа. Примеры и контрпримеры. Разложимые операторы. Каноническая пучковая модель оператора со свойством (\beta).

Свойство (\beta) и квазикогерентность.

Квазикогерентные аналитические пучки Фреше: определение и общие свойства. Квазикогерентные модули Фреше. Эквивалентность свойства (\beta) линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели.

Локальные спектральные свойства.

Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов. Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели. Локальные спектральные подпространства и их свойства. Описание локальных спектральных подпространств оператора со свойством (\beta) в пучковых терминах.

Разложимость и мягкость*.

Мягкие пучки. Эквивалентность разложимости оператора и мягкости его пучковой модели.