Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s15/(04)2015_top3_zadachi.pdf Дата изменения: Mon Mar 9 04:54:45 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 16:39:19 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.mccme.ru

Задачи к курсу Топология 3 (НМУ, весна 2015). Листок 4.

Задача 1. Подпространство A топологического пространства X называется ретрактом X , если существует такое непрерывное отображение r : X A , что ограничение r на A тождественно. Пусть (X, A) клеточная пара и A ретракт X . Используя точную последовательность пары, докажите, что Hn (X ) Hn (A) Hn (X, A), H n (X ) H n (A) H n (X, A) = =

Задача 2. Пусть диагональ пространства RP 2 ЧRP 2 = X . Используя точную
последовательность пары, вычислите относительные гомологии и когомологии пары (X, ) c коэффициентами в Q, Z2 , Z .

Задача 3. Пусть X клеточное пространство, являющееся объединением своих
клеточных подпространств A и B , и пусть A B тоже клеточное подпространство. Рассмотрим отображения вложения i : A B A , j : A B B , k : A X , l : B X . Определите отображение : Hn (X ) Hn-1 (A B ) так, что последовательность МайераВиеториса

ћ ћ ћ Hn (A B ) - - Hn (A) Hn (B ) - - Hn (X ) - Hn-1 (A B ) ћ ћ ћ - -
будет точной. Докажите ее точность сведением к точной последовательности пары.

(i ,j )

k -l



Задача 4. Пусть f : S 1 S 1 непрерывное отображение степени 2 . Рассмотрим
пространства, полученные из 1) [0, 1] Ч S 1 Ч {1, . . . , k } ; 2) [0, 1] Ч S 1 Ч N ; 3) [0, 1] Ч S 1 Ч (-N) ; 4) [0, 1] Ч S 1 Ч Z склеиванием соседних цилиндров: левая граница цилиндра [0, 1] Ч S 1 Ч {i + 1} приклеивается к правой границе цилиндра [0, 1] Ч S 1 Ч {i} при помощи отображения f (точка (0, x, i + 1) отождествляется с точкой (1, f (x), i) ). а) Найдите гомологии и когомологии этих пространств. б) Какие из них гомотопически эквивалентны?

Задача 5. Пользуясь последовательностью МайераВиеториса, вычислите гомологии пространств, полученных из двух полноторий D2 Ч S 1 склейкой граничных торов T 2 = R2 /Z2 при помощи всевозможных аффинных отображений.