Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s14/difgeom2-listok-dg2.pdf Дата изменения: Sun Feb 23 03:09:35 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 16:20:14 2016 Кодировка: Windows-1251

НМУ, Дифференциальная геометрия (2-й семестр). Листок 2. Докажите, что кривизна плоской кривой параметр, может быть найдена по формуле
Задача 1.

Кривые на плоскости и в пространстве
(t) = (x(t), y (t)) k= |xy - y x| Е Е . (x2 + y 2 )3/2

21 февраля 2014 г.

, где t произвольный

Пусть три точки на плоской кривой лежат в общем положении, то есть не на одной прямой. Тогда через них можно провести единственную окружность. Устремим все три точки теперь к какой-то одной точке P на данной кривой. Найти радиус предельной окружности. Докажите, что (а) если кривизна кривой тождественно равна нулю, то это прямая; (б) если кручение кривой тождественно равно нулю, то кривая лежит в плоскости. (в) Опишите кривые с постоянными кривизной и кручением. (б) Докажите, что кривая постоянной кривизны, лежащая на сфере, является окружностью. Найдите точки экстремума кривизны (а) параболы; (б) эллипса. Определите радиусы кривизны в этих точках. Рассмотрим на плоскости кривой функцию Sq (t) = (t) - q 2 квадрата расстояния до фиксированной точки q R2. Докажите, что (а) точка q принадлежит нормали к кривой тогда и только тогда, когда S (t) = 0 (т.е. окружность с центром в q, проходящая через (t), касается кривой); (б) q является центром кривизны тогда и только тогда, когда S (t) = S (t) = 0 (т.е. окружность кривизны имеет более высокий порядок касания с кривой); (в) (t) к тому же является точкой экстремума кривизны тогда и только тогда, когда S (t) = S (t) = S (t) = 0 (т.е. в точках экстремума кривизны окружность кривизны имеет еще более высокий порядок касания с кривой). Нарисуйте эволюту (множество центров кривизны) параболы и эллипса. Докажите, что выпуклая замкнутая гладкая плоская кривая имеет не менее 4 точек экстремума кривизны.
Задача 2. Задача 3. Задача 4. Задача 5. Задача 6. Задача 7 .