Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s13/analiz2-listok14.pdf Дата изменения: Mon Mar 4 02:33:04 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:18:25 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п р п р п р п р п р п р п п р п п р п п р п

НМУ, Математический анализ (2-й семестр).

Листок 14.

1 марта 2013 г.

Алгебры множеств. Мера Лебега.

Кольцом подмножеств множества X называется непустая система подмножеств X , замкнутая относительно операций объединения, пересечения и разности. Алгеброй назвыается кольцо, содержащее в качестве элемента все множество X , - алгеброй называется алгебра, замкнутая относительно операции счетного объединения. 1. Докажите, что операция симметрической разности удовлетворяет следующему условию:
A B (A C ) (B C)

(аналог неравенства треугольника для расстояния (A, B ) = A B , принимающего значения на множествах). 2. Докажите, что (а) система множеств, замкнутая относительно операций объединения и разности, является кольцом, (б) система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, вообще говоря, не является кольцом. 3. Докажите, что алгебра, замкнутая относительно счетных объединений, замкнута относительно счетных пересечений и наоборот ( -алгебра является -алгеброй и наоборот). 4. Докажите, что система подмножеств является кольцом тогда и только тогда, когда их характеристические функции образуют кольцо относительно операций сложения и умножения по модулю два. 5. Пусть A множество, S система всех таких множеств B A, что либо B , либо A \ B не более чем счетно. Докажите, что S является -алгеброй. 6. Доказать, что (а) пересечение произвольной непустой системы колец является кольцом (возможно, кольцом {}), (б) пересечение произвольной системы алгебр ( -алгебр) с одной и той же единицей является алгеброй ( -алгеброй). (в) Приведите пример двух -алгебр, пересечение которых не является алгеброй. 7. Пусть S система множеств. Докажите, что существует такое кольцо R(S ), что S R(S ) и для любого кольца R1 S выполнено R(S ) R. Это кольцо называется минимальным кольцом, содержащим систему S . Докажите, что если система S содержит единицу E , то R(X ) является алгеброй. Канторовым множеством называется множество, которое строится следующим образом: из единичного отрезка C0 = [0, 1] удалим среднюю треть, т.е. интервал (1/3, 2/3) и получим множество C1 = [0, 1/3] [2/3, 1], а затем будем повторять процедуру на каждом шаге удаляя средние трети всех отрезков, составляющих множество Cn , построив таким образом Cn+1 . Канторово множество C получим как пересечение множеств Cn , C = nN Cn . 8. Докажите следующие свойства канторова множества C а) Подмножество топологического пространства называется совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек. Докажите, что C совершенное подмножество R. б) Докажите, что C нигде не плотно в R. в) Докажите, что C имеет мощность континуума. г) Представим каждое число на [0; 1] в виде бесконечной троичной дроби. Какие троичные дроби соответствуют точкам из C ? д) Докажите, что множество C имеет меру ноль. е) Опишите множества C + C и C - C (C + C = {x + y , x, y K }). ж) Найдите такие множества A, B R меры ноль, что A + B = R. 9. Докажите, что мощность множества измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [0, 1] больше континуума.


Несколько задач про меру Лебега
10. а) (регулярность меры Лебега). Докажите, что для любого измеримого множества A R

ч(A) = inf {ч(U ) : A U, U открыто} = sup{ч(K ) : K A, K компактно}.
б) Докажите, что всякое измеримое по Лебегу множество A R представимо в виде A = nN Kn N , где Kn компакты и N множество меры 0. Как следствие, всякое измеримое по Лебегу множество отличается от некоторого борелевского на множество меры 0. Внутренней мерой множества A [0, 1] называется число ч (A) = 1 - ч ([0, 1] \ A), где ч внешняя мера. 11. Докажите, что ч (A) ч (A). 12. Докажите, что множество A [0, 1] измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда ч (A) = ч (A). 13. Существует ли измеримое по Лебегу множество A, такое, что для любого отрезка [a, b] выполнено ч(A [a, b]) = b-a ? 2 14. Пусть A измеримое по Лебегу множество ненулевой меры. Докажите, что множество A - A содержит некоторую окрестность нуля.