Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s13/analiz2-listok13.pdf Дата изменения: Mon Mar 4 02:32:51 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:18:23 2014 Кодировка: Windows-1251

НМУ, Математический анализ (2-й семестр).

Экстремум функции многих переменных и функциональная независимость

Листок 13.

22 февраля 2013 г.

1. Пусть df (x) = 0. Может ли функция f (x) иметь экстремум в точке x = (x1 , . . . , xm ), если 2 гессиан Hf (x) = xi fxj принимает как положительные, так и отрицательные значения? 2. Как изменяется гессиан Hf (x) при замене декартовых координат на криволинейные? 3. Можно ли исследовать функцию на экстремум в криволинейных координатах по тому же правилу, что в декартовых? 4. Найдите все критические точки функций: (а) f (x, y ) = 3xy - x3 - y 3 ; (б) f (x, y ) = (x2 + y 2 )2 - 2(x2 - y 2 ). Для каждой из критических точек определите, к какому типу она относится (локальный минимум, локальный максимум или седловая точка). 5. Докажите, что, если система гладких функций fi (x1 , . . . , xm ), i = 1, . . . , n, определенных fi в окрестности U (x0 ) точки x0 = (x0 , . . . , x0 ), такова, что матрица Якоби xj имеет ранг n в m 1 каждой точке x U (x0 ), то система f1 , . . . , fn функционально независима в U (x0 ). Функциональная независимость означает, что если F непрерывная функция и

F (f1 (x), . . . , fn (x)) 0,

то F (y1 , . . . , ym ) 0 для всех x из некоторой окрестности точки y 0 = (f1 (x0 ), . . . , fn (x0 )). 6. Докажите, что, если система гладких функций fi (x1 , . . . , xm ), i = 1, . . . , n такова, что fi rk xj (x) = k < n в любой точке x U (x0 ) некоторой окрестности точки x0 , то найдется такая
окрестность x0 , в которой некоторые n - k функций системы выражаются через остальные. 7. Являются ли функционально независимыми стандартные симметрические многочлены от n переменных в окрестности точки x = (x1 , . . . , xn ), если все xi различны? Пусть f , i (x), i = 1, . . . , k функции, определенные в некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 Rn , k < n. Для того, чтобы точка x0 являлась экстремумом функции f (x) при условии, i (x) = 0, i = 1, . . . , k , необходимо, чтобы при некоторых значениях 1 , . . . , k выполнялись условия L(x0 ) , j = 1, . . . , n, i (x0 ) = 0, i = 1, . . . , k , xj

где функцию L(x) = f (x) - k=1 i i (x) называют функцией Лагранжа, а параметры i i множителями Лагранжа. Пусть f (x), i (x) C (2) (U (x0 ), R), выполнены условия, написанные выше, ранг матрицы Якоби системы i , (i = 1, . . . , k ) в любой точке U (x0 ) равен k . Тогда, чтобы x0 являлась точкой 2L локального минимума (максимума) достаточно, чтобы квадратичная форма xi xj (x0 )dxi dxj была положительно (отрицательно) определенной в пространстве, заданном соотношениями di (x0 ) = 0, i = 1, . . . , k . 8. Найдите условные экстремумы функции f (x, y ) относительно заданного уравнения связи: (а) f (x, y ) = x2 + xy + y 2 , x2 + y 2 = 1; (б) f (x, y ) = x/a + y /b, x2 + y 2 = r2 , r > 0. 1 9. Найдите расстояние между поверхностями 96 x2 + y 2 + z 2 = 1 и 3x + 4y + 12z = 238. 10. Найдите наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, вписанный: (а) в полусферу радиуса R; (б) в эллипсоид, полуоси которого равны a, b, c. 11. Может ли дифференцируемая функция f : R2 R иметь ровно три критические точки точку локального максимума, точку локального минимума и седловую точку?