Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s13/analiz2-listok11.pdf Дата изменения: Thu Feb 14 18:29:18 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:18:21 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

НМУ, Математический анализ (2-й семестр).

Листок 11.

8 февраля 2013 г.

Функции многих переменных. Функции, заданные неявно.

X , которое нельзя представить в виде X2 двух открытых в X (в индуцированной топологии) множеств с пустым пересечением. Множество X называется линейно связным, если любые две его точки x1 , x2 X могут быть соединены непрерывной кривой :
дизъюнктивного объединения

Связным множеством называется множество

X1

: [a, b] X,
образ которой целиком лежит в

(a) = x1 ,

(b) = x2 ,

X. 1. (а) Опишите все связные подмножества прямой. (б) Докажите, что линейно связное множество связно. (в) Приведите пример связного, но не линейно связного множества. Областью в Rn называется открытое связное множество. 2. Докажите, что область линейно связна. 3. Докажите, что функция f (x, y ), имеющая ограниченные частные производные f и x f в некоторой выпуклой области G, равномерно непрерывна в этой области. y 4. Докажите, что, если функция f (x, y ) в некоторой области G непрерывна по x при каждом фиксированном y и имеет ограниченную частную производную u , то эта функция y непрерывна в области G. 5. Пусть f (x, y ) непрерывно дифференцируемая функция в некоторой области G и f = 0 в области G. Верно ли утверждение, что функция f (x, y ) не зависит от y в области y G? 6. Пусть F (x, y , z ) непрерывно дифференцируемая функция. Напишите уравнение касательной плоскости к линии уровня функции F (x, y , z ) = F (x0 , y0 , z0 ) в точке (x0 , y0 , z0 ) и покажите, что градиент функции F ортогонален касательной плоскости. 7. Найдите u и u в точке (1, -2) для каждой дифференцируемой функции u(x, y ), x y заданной неявно уравнением u3 - 4xu + y 2 - 4 = 0. 8. Найдите в указанной точке дифференциал функции u(x, y ), заданной неявно уравнением: (а) x + y - u = eu-x-y , (x0 , y0 ); (б) x - u = u ln(u/y ), (1, 1). 9. Рассмотрим линейное уравнение с частными производными первого порядка f1 (x, y , z ) u u u + f1 (x, y , z ) + f1 (x, y , z ) = 0. x y z
(1)

Докажите, что первые интегралы системы

x(t) y (t) z (t) = = , f1 f2 f3

(2)

то есть такие функции F (x, y , z ) = const, которые постоянны на решениях уравнения (2), являются решениями уравнения (1). 10. Найдите решения уравнений: (а) y u - x u = 0; x y (б) x u + y u + z u = 0. x y z