Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s12/Petuhov-lect4-02032012.pdf Дата изменения: Mon Mar 12 18:52:48 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:46:38 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: rocket

Регулярные особенности: продолжение.

Для всякой матрицы A Matr

Чr

(Mer(U0 )) будем обозначать через A(

n)

е? коэффициент при x

n

(A(

n)

Matr

Чr

(C)).

Сейчас мы докажем следующую теорему, сформулированную в конце предыдущей лекции.
Теорема 1.

Если A Matr

Чr

(Mer(U0 )) имеет простые полюса, то существует невырожденная

F Mat
и Matr
Чr

r Чr

(Mer(U0 )),

(C), для которых F
-1

AF + F

-1

x F =

. x

Для е? доказательства нам потребуется следующее утверждение, которое мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Упражнение 1. Пусть A, B Mat пересекаются. Тогда отображение

r Чr

(C) две матрицы, наборы собственных значений которых не
Чr

Matr есть биекция.
Доказательство.

Чr

(C) Matr

(C) (X (AX - X B ))

Из определения

A=

~ x

+ Areg ,

~ ~ где Areg MatrЧr (U0 ), а MatrЧr (C). Обозначим собственные значения матрицы как 1 , ..., s . Покажем, что после преобразования подходящей матрицей F MatrЧr (U0 ), мы можем считать, что i - j = Z при i = j . Для этого достаточно показать, что мы можем изменить любое одно собственное значение i на 1 ~ Для всякого i матрица в некотором базисе записывается как ( ) i 0 , 0 i
где i квадратная di Ч (r - di ) Ч (r - di )-матрица, ( xIddi матрицу F вида 0 Результирующая матрица ( i Так как

di -матрица с единственным собственным значением i , а i квадратная для которой i не является собственным значением. Применим к матрице A ) 0 , где Iddi , Idr-di единичные матрицы соответствующего размера. Idr-di снова имеет простые полюса и е? коэффициент при x-1 равен ) ( )) ) (( -1 + Id 0 x Id 0 xId 0 + Areg 0 i 0 Id 0 Id (-1) x-1 Id 0 0 Id ) Ar
eg

((

(

xId 0 )
и

0 Id (

)) =
(-1)

(

0 00

) ,

наборы собственных значений матриц ( i + 1 0

0 i
-1



i

+1 0 x F )

)
i

совпадают. Таким образом, наборы собственных значений матриц

A(-

1)

и (F

AF + F

-1

(-1)

1


отличаются ровно в одном значении i и на 1. Таким образом, мы можем считать, что i - j = Z при i = j . Покажем в этом предположении, что существует F вида 1 + x1 F1 + x2 F2 + ..., где Fi Mat
r Чr

(C), для которого F
-1

AF + F

-1

x F = A(
Z
0

-1)

=

. x

Достаточно показать, что существует набор {Fi }i

, удовлетворяющий системе
n)

(F

- AF ) x

(n)

= (x F )(

(1)

для всякого n -1. Для n = -1, 0 утверждение (1) суть тождество. Для n 0 имеем

([F, ])
Что переписывается как

(n+1)

- (Areg F )(

n)

= (n + 1)F

n+1

.

[Fn

+1

, ] - (n + 1)Fn

+1

= (Areg F )

(n)

,

Fn

+1

- ( + (n + 1)Idr )F

n+1

= (A

r eg

F)

(n)

. (2)

Заметим, что правая часть высчитывается по значениям F1 , ..., Fn , и соответственно, достаточно показать, что выражение (2), воспринимаемое, как уравнение относительно Fn+1 , имеет решение. А это, в силу того, наборы собственных значений матриц и + (n + 1)Idr не пересекаются, следует из упражнения 1. То есть в каждом классе эквивалентности матриц, соответствующих регулярным связностям, есть матрица вида , где MatrЧr (C). x
Упражнение 2.

Покажите, что в C[x, x ]-модуле M , заданном связностью конечномерно, т.е. dim(C[xx ]m) < для всякого m M .

x

, xx действует

локально

Упражнение 3. Покажите, что dim(C[xx ]m) < если и только если существует ненулевой многочлен p(t) C[t], для которого p(xx )m = 0.

В следующей лекции мы используем упражнение 2 для описания категории (в частности, е? простых объектов) регулярных (C\0)-когерентных C[x, x ]-модулей.
Упражнение 4.

Опишите явно множество 1 (U0 ) и регулярные элементы в н?м. Опишите явно соответствующие C[x, x ]-модули.

Список литературы

[Mal] B. Malgrange, Equations dierentielles a coecients polynomiaux, стр. 2325.

2