Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/topology2-Lect5.pdf Дата изменения: Mon Mar 21 16:54:06 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:08:18 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ

ЛЕКЦИЯ 5

ТОПОЛОГИЯ ВЕСНА 2010 Г

Краткое содержание. Теория препятствий. Теорема Хопфа.

Пусть X | клеточное пространство, Y | топологическое пространство, для которого действие группы 1 на всех группах n тривиально (например, Y односвязно). Пусть f : skn-1 (X ) Y | непрерывное ото бражение. Пусть e(n) | n-мерная клетка в X с характеристическим ото бражением : Dn X ; тогда fe def f |S n-1 : S n-1 Y | сфероид. Мы можем рассмотреть класс [fe ] n-1 (Y ) (поскольку действие = 1 (Y ) на n-1 (Y ) тривиально, можно не указывать отмеченную точку); полученное соответствие e [fe ] определяет элемент cf W n (X; n-1 (Y )) (клеточную n-коцепь в X со значениями в n-1 (Y )). Очевидно, f можно продолжить на клетку e(n) тогда и только тогда, когда fe стягиваемо, а на весь остов skn (X ) | тогда и только тогда, когда cf = 0.

Теорема 1. Коцепь cf является коциклом: cf = 0.
Доказательство. Заметим, что cf = f cn-1 , где n-1 : skn-1 (X ) X | вложение, а гомоморфизм f : n-1 (skn-1 (X )) n-1 (Y ) применяется к значениям коцепи cn-1 и, следовательно, коммутирует с дифференциалом. Таким о бразом, достаточно доказать, что cn-1 = 0. Коцепь cn-1 ставит в соответствие клетке e гомотопический класс ограничения e |S n-1 : S n-1 skn-1 (X ). Согласно сказанному в конце предыдущей лекции Wn (X ) = n skn (X ); skn-1 (X ); тогда коцепь cn-1 равна ото бражению n skn (X ); skn-1 (X ) n-1 (skn-1 (X )) из точной последовательности пары. Поскольку дифференциал в клеточном комплексе равен композиции некоторого гомоморфизма и ото бражения n (skn (X )) n (skn (X ); skn-1 (X )) из той же самой точной последовательности, имеем cn-1 (u) = cn-1 (@ u) = 0 в силу точности последовательности пары.

Теорема 2. Пусть f и g | непрерывные отображения skn-1 (X ) Y , причем f Тогда существует коцепь df;g C n-1 (X; n-1 (Y )) такая, что cf - cg = df;g .

|skn-2 (X )

=g

|skn-2 (X )

.

Доказательство. Для произвольной (n - 1)-мерной клетки e определим ото бражение %(e) : S n-1 Y , f ;g равное на верхней полусфере f e , а на нижней g e (на экваторе эти формулы дают одно и то же, т.к. e переводит экватор в skn-2 (X )). Положим теперь df;g (e) = [%(e) ]. Пусть теперь u | n-мерная клетка X . f ;g Тогда df;g (u) = df;g (@ u) = df;g ( e [u : e]e) = v [%(e) -1 u |S n 1 ]. Заметим теперь, что сумма сфероидов e f ;g в правой части равенства гомотопна разности сфероидов [f u |S n 1 ] - [g u |S n 1 ] = cf (u) - cg (u).
- - -

Когомологический класс Cf H (X; n-1 (Y )) коцикла cf называется препятствием к продолжению отображения f на skn (X ). Из теоремы вытекает, что если два ото бражения совпадают на skn-2 (X ), то соответствующие классы одинаковы. Следствие 1. Препятствие Cf = 0 тогда и только тогда, когда существует отображение F : skn (X ) Y такое, что F |skn 2 (X ) = f |skn 2 (X ) .
- -

n

Доказательство. \Тогда" вытекает из теоремы (cF = 0, поскольку F определено на skn (X ). Для доказательства \только тогда" достаточно построить ото бражение g : skn-1 (X ) Y , совпадающее с f на skn-2 (X ) и такое, что df;g | произвольная заранее заданная коцепь; построение такого g | упражнение.
Пусть теперь Z X | клеточное подпространство, и f определено на Z skn-1 (X ). Тогда аналогично cf определена коцепь cf;Z C n (X; Z; n-1 (Y )), препятствующая продолжению f на Z skn (X ). Аналогично теореме 1 доказывается, что cf;Z | коцикл (относительный), аналогично теореме 2 и следствию 1 доказывается, что класс (относительное препятствие) Cf;Z = [cf;Z ] H n (X; Z; n-1 (Y )) зависит только от ограничения f на Z skn-2 (X ) и равен нулю тогда и только тогда, когда существует F : Z skn (X ) Y , совпадающий с f на Z skn-2 (X ). Пусть f ; g : A Y и f |skn 1 (A) = g|skn 1 (A) . Пусть X = A в [0; 1] и Z = A в {0; 1}; зададим ото бражение F : Z skn (X ) Y формулами F (a; 0) = f (a), F (a; 1) = g(a), F (a; t) = f (a) = g(a) при a skn-1 (A). Продолжение этого ото бражения на skn+1 (X ) это гомотопия, соединяющая f с g на skn (A) и неподвижная на skn-1 (A). Препятствующая коцепь к существованию такого продолжения лежит в C n+1 (A в [0; 1]; A в {0; 1}; n (Y )) = C n (A; n (Y )); нетрудно проверить, что она равна df ;g . Эта коцепь | коцикл, согласно теореме 2: df;g = cf - cg = 0, поскольку f и g определены на всем пространстве A. Из следствия 1 (точнее,
- -

1


из его аналога для относительных препятствий) вытекает, что f и g гомотопны на skn+1 (X ) (гомотопия неподвижна на skn-1 (X )) тогда и только тогда, когда класс когомологий Df;g = [df;g ] H n (A; n (Y )) нулевой. Теорема 3 (теорема Хопфа). Пусть X | n-мерное клеточное пространство. Отображения f ; g : X S n гомотопны тогда и только тогда, когда f (1) = g (1) H n (X; Z), где 1 H n (S n ; Z) = Z | стандартная образующая. Доказательство. Если f и g гомотопны, то равенство f (1) = g (1) следует из гомотопической инвариантности ото бражений f . Обратно, пусть f (1) = g (1). Пусть f и g совпадают на skk (X ). Тогда препятствие к построению гомотопии между f и g на skk+1 (X ), неподвижной на skk-1 (X ), лежит в группе H k+1 (X; k+1 (S n )); поэтому если k < n - 1, это препятствие нулевое (поскольку группа коэффициентов нулевая). Если k = n - 1, то препятствие лежит в H n (X; Z) и равно Df;g = Cf - Cg = Df;pt - Dg;pt , где pt | ото бражение в точку. По определению различающей коцепи Df;pt = f (1), откуда вытекает, что препятствие опять нулевое | следовательно, f и g гомотопны на skn (X ) = X . Теорема 4 (теорема Брушлинского). Для всякого клеточного пространства X отображения f ; g : X S 1 гомотопны тогда и только тогда, когда f (1) = g (1) H 1 (X; Z). Доказательство аналогично; препятствия к построению гомотопии на остовах с номерами, большими 1, нулевые, поскольку k (S 1 ) = 0 при k > 1.