Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/ryzhov-lect3.pdf Дата изменения: Tue May 17 14:16:18 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:20:43 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

Ренормализация и универсальность Фейгенбаума - 3 28.02.2011

В этой лекции мы объясним явление универсальности, сформулированное на прошлой лекции.
Часть 1. Свойства унимодального семейства.

свойства унимодального семейства преобразование удвоения свойства преобразования удвоения, приводящие к универсальности

Преобразование удвоения.

Рассмотрим однопараметрическое семейство fa (x) унимодальных гладких отображений отрезка [-1, 1] в себя. Будем предполагать, что единственная критическая точка xc (a) = 0 и является точкой максимума при всех a. Любое унимодальное семейство сопряжено с семейством такого вида, и периодические отталкивающие и притягивающие точки переходят друг в друга при сопряжении. Пусть при возрастании параметра a на конечном промежутке происходит бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода при значениях параметра an , и limn an = A. (Универсальность Фейгенбаума) (1) lim (A - an )1/n = , n где = 4, 6692 . . . константа, не зависящая от семейства fa.
Теорема 1.1 .

Определение 1.2.

Напомним, при a = an у отображения fa появляется устойчивая периодическая траектория периода 2n . Это означает, что в интервале an < a < an+1 у отображения (fa )2 имеется 2n устойчивых неподвижных 2 точек. Зафиксируем любую из них, скажем, x = x(a). Тогда dn (a) := (fa )x (x(a)) по модулю меньше 1 при a [an , an+1 ], причем dn (a) 1 при a (an , +) и dn (a) -1 при a (an+1 , -). Значит, существует такое значение параметра an [an , an+1 ], что dn (a)(an ) = 0. Периодическая орбита периода n отображения f : R R называется сверхустойчивой, если (f n ) (x) = 0 для некоторой (равносильно: любой) точки x из орбиты.
n n

Таким образом, значение параметра an соответствует наличию сверхустойчивой периодической орбиты периода 2n . Произведем несложную переформулировку: равенство (1) равносильно равенству an+1 - an (2) lim = . n an+2 - an+1 Сейчас нам будет удобнее следить за асимптотикой именно этого выражения. Основное наблюдение, принадлежащее Фейгенбауму и объясняющее универсальность, состоит в том, что при a [an , an+1 ] графики отображений (fa )2 (x) и (fa )2 (x) асимптотически совпадают в некоторой окрестности критической точки при n , с точностью до изменения масштаба и отражения относительно горизонтальной оси. Более того, после сдвига и переномировки параметра будут асимптотически совпадать целые семейства отображений, а именно, семейства
n-1 n

при k = n и при k = n + 1. Значит, последовательно удваивая итерации, производя перенормировку параметра и изменение масштаба (ренормализацию), мы получаем в пределе семейство отображений, инвариантное относительно произведенных действий. Идея доказательства заключается в том, что предельное семейство не зависит от начального, а определяется только проведенными преобразованиями. Кроме того, в этом случае и исходные отображения, после 2n итераций и соответствующей перенормировки, стремятся к одному и тому же отображению (при n ). Для строгого описания производимых на каждом шаге процедур необходимо ввести преобразование удвоения.
1

(fa )2

k-1

(x),

ak < a < ak

+1

,


2
Часть 2. Преобразование удвоения.

Пусть f (x) четное унимодальное отображение отрезка Введем обозначения:
= (f ) = -

I = [-1, 1]

в себя, с точкой максимума

xc = 0

.

f (f (0)) ; f (0) I3 = [f 2 (0), f 2 ()].

(i) f (I1 (ii) Пусть, дополнительно,
Предложение 2.1.

I1 = [-, ];

) = I2 f (I2 ) = I3 f (0) > 0,

,

I2 = [f (), f (0)];

;

Тогда I3 I1 и I2 I1 = . Предложение доказывается непосредственной проверкой. Преобразование f T f , где (3) T f (x) := --1 f 2 (x), называется преобразованием удвоения. Если f унимодальное C 1-отображение с точкой максимума xc = 0, f (0) > 0. Тогда T f (x) также имеет точку максимума x = 0, причем T f (0) = f (0). В условиях предыдущего предложения T f (x) унимодально. Доказательство. Равенство T f (0) = f (0) очевидно. Критические точки определяются равенством T f (x) = -f (f (x)) ћ f (x), откуда 0 критическая, и T f (x) > 0 в левой полуокрестности нуля и T f (x) < 0 в правой. В условиях предыдущего предложения f (f (x)) = 0 на отрезке I из свойства (ii), поэтому 0 единственная критическая точка. Пусть U пространство отображений f C 2 (I ) (необязательно четных), таких что x = 0 точка максимума и f (0) фиксировано (скажем, f (0) = b > 0). Предложение показывает, что пространство U инвариантно относительно преобразования удвоения T . Пусть 1 гиперповерхность в пространстве U , состоящая из отображений, имеющих производную -1 в неподвижной точке. Докажем следующую редукцию: Пусть выполнены следующие свойства преобразования удвоения: (1) T имеет неподвижную точку g U ; (2) Линеаризованное отображение DT (g) гиперболично и имеет только одно собственное значение , по модулю большее 1 (константа Фейгенбаума); (3) Отвечающая неустойчивая сепаратриса неподвижной точки g трансверсально пересекает гиперповерхность S1. Тогда выполнена теорема 1.1. Доказательство. По теореме АдамараПеррона, через неподвижную точку g проходит одномерная неустойчивая сепаратриса W u (g), состоящая из отображений, удаляющихся от g под действием T , и устойчивая сепаратриса W s (g) коразмерности 1, состоящая из отображений, притягивающихся к g под действием T . Пусть Sn+1 = T -1 (Sn ), n N. Заметим, что при пересечении семейством отображений fa (x) поверхности Sk из устойчивой периодической траектории периода 2k-1 рождается неустойчивая периодическая траектория периода 2k . Это означает, что в точках пересечения семейства fa с гиперповерхностями S k происходит бифуркация удвоения периода, и они соответствуют бифуркационным значениям ak . Неустойчивая сепаратриса W u (g) трансверсально пересекает S1 , а следовательно и все Sk . Поверхности Sk сходятся к W s (g), причем в окрестности произвольной точки W s (g) расстояния между Sk и W s (g) уменьшаются в число раз, стремящееся к . Поэтому, ввиду трансверсальности, бифуркационные значения любого семейства fa , лежащего достаточно близко к W u (g), удовлетворяют соотношению A - ak const ћ -k (константа зависит от семейства и определяется производной fa (x)a при a = A).
Определение 2.2. Предложение 2.3. Предложение 2.4.

f 2 (0) < 0,

f () > ,

f 2 () < .


3

Отображение g является универсальным в том смысле, что
Замечание 2.5.

lim

k

T k fA = g

.
f (|x| )
, по

В других инвариантных пространствах, например, в пространствах отображений вида (отдельная константа для каждого пространства).

всей видимости, есть свои неподвижные точки преобразования удвоения с указанными свойствами, с универсальными константами

= ( )

В начале 1980-х (Collet, Tresser, 1980; Lanford, 1982) требуемые свойства (1)-(3) из предыдущего предложения были доказаны с использованием компьютерных вычислений. Так, существование неподвижной точки для T можно обосновать следующим образом. Как и следует ожидать, искомая функция g оказывается четной. Попробем найти ее разложение в ряд Фурье. Если рассмотреть многочлен g степени 2m, то следующий многочлен g1 той же степени можно получить путем отбрасывания старших степеней от многочлена T (g) степени 4m2 . Таким способом происходит уточнение разложения функции g в ряд до сколь угодно высокой степени. После получения функции, очень близкой к искомой, можно, линеаризовав задачу, показать строго с помощью метода Ньютона, что неподвижная точка существует.