Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/ryzhov-lect1.pdf Дата изменения: Tue May 17 14:15:52 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:11:11 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Ренормализация и универсальность Фейгенбаума - 1 07.02.2011

Бифуркация удвоения периода.

системы с непрерывным и дискретным временем отображение Пуанкаре бифуркации семейства и их деформации структурная устойчивость гиперболичность теорема Гробмана-Хартмана бифуркация Андронова-Хопфа бифуркация удвоения периода
Часть 1. Введение.

Первая лекция посвящена динамическим системам как с непрерывным, так и с дискретным временем; в дальнейшем нас будет интересовать лишь дискретный случай. Основными способами перехода от непрерывного времени к дискретному являются рассмотрение преобразования фазового пространства за какое-либо фиксированное время (скажем,

1),

и

отображения Пуанкаре, о котором речь пойдет ниже. Фазовым про-

странством динамической системы чаще всего является гладкое многообразие с римановой метрикой, или множество, которое может быть в него гладко вложено. Основными рассматриваемыми объектами курса являются семейства одномерных вещественных или комплексных систем с дискретным временем. Это один из немногих случаев, когда удается проследить переход от регулярного движения к хаотическому и доказать, что с течением времени большая часть точек системы приходит к одному из вариантов конечного набора хорошо изученных режимов. При рассмотрении некоторого класса динамических систем первоочередной задачей является изучение случаев общего положения, потому любую систему можно превратить в такую что сколь угодно малым изменением параметров системы, от которой она зависит. Однако если необходимо рассматривать семейства систем, зависящих от параметра, часто бывает невозможно добиться того, чтобы были общего положения. Подобными вопросами занимается теория бифуркаций. Слово

все системы из семейства

бифуркация (раздвоение) означает качествен-

ное изменение свойств системы при непрерывном изменении параметра (такое, как исчезновение неподвижной точки, рождение изолированной замкнутой траектории предельного цикла, и т.п.) Системы, в окрестности которых не происходит бифуркаций, называются

структурно устойчивыми. В маломерной

динамике (т.е. в случае, когда размерность фазового пространства меньше

3)

бифуркациям соответствуют

пересечения семейством множества систем не общего положения. Однако в многомерном случае существуют системы, в окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, поэтому в этом случае невозможно дать полное описание бифуркаций, которые происходят на границе множества структурно устойчивых систем.

Часть 2. Структурно устойчивые системы.

Вначале дадим общее понятие структурной устойчивости, а затем сделаем необходимые пояснения и приведем основные результаты.

Определение 2.1.
точно

Динамическая система называется

C r -структурно устойчивой,

если при всяком доста-

C

r

-малом ее изменении полученная система эквивалентна исходной.

Определение 2.2. C
C
r

r

-топология на пространстве

C

r

-гладких функций задается сходимостью всех произ-

водных степени не выше

r

(равномерно на всем рассматриваемом множестве).

C

r

-топология в пространстве

-гладких векторных полей задается покомпонентно. Два

Определение 2.3.
m

C -сопряженными (m C r -эквивалентность в пространстве

C r -отображения f : M M r), если существует такой C
1

и

g: N N

называются

m

-диффеоморфизм

C m -эквивалентными, или h : M N , что f = h-1 g h.

потоков и векторных полей задается аналогично.


2
Таким образом, сопрягающее отображение смысле

h

переводит друг в друга орбиты соответствующих точек с со-

хранением скорости движения по орбитами. Для векторных полей структурная устойчивость понимается в

орбитальной эквивалентности, то есть, от

h

требуется, чтобы он переводил друг в друга лишь сами

орбиты (фазовые кривые) двух полей, сохраняя при этом их ориентацию. Если не вносить этого изменения, то структурная устойчивость векторных полей оказалась бы крайне редким явлением: так, любое малое изменение времени прохождения предельного цикла приводило бы к системе, неэквивалентной исходной.

гиперболической, если у нее нет мульгиперболической, если у нее нет собственных значений на мнимой оси. Периодическая орбита векторного поля называется гиперболической если соответствующая неподвижная точка его преобразования монодромии гиперболическая.
Неподвижная точка диффеоморфизма называется типликаторов на единичной окружности. Особая точка векторного поля называется

Определение 2.4.

Теорема 2.5 Пример 2.6.

-гладкое векторное поле (C 1 -гладкий диффеоморфизм) в окрестности гиперболической особой (соотв., неподвижной) точки топологически эквивалентно своей линейной части в этой точки.
(теорема ГробманаХартмана) Топологическая классификация гиперболических особых точек векторных на плоскости: сток,

.C

1

седло, источник. Центр и седлоузел не являются гиперболическими особыми точками. Каков топологический тип у (гиперболического) устойчивого фокуса?

Часть 3. Бифуркации векторных полей на плоскости.

Прежде чем переходить к интересующей нас бифуркации удвоения периода, изучим

Хопфа.

бифуркацию Андронова

Она связана с потерей устойчивости положения равновесия.

Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей на плоскости, задающееся в комплексной координате формулой

z = z (i + + cz z ), ? точка z = 0 положение равновесия типа фокус, который устойчив при < 0 и неустойчив при > 0. При = 0 особая точка представляет собой центр по линейным членам, устойчивый при c < 0 и неустойчивый при c > 0.
где



бифуркационный параметр. При всех

Перейдем для удобства изучения потери устойчивости в координату

r = z z = |z | ?

2

. В этой координате

r = 2r( + cr),
Мы видим, что точке

r > 0.

c<

c соответствует предельный цикл (если это число больше нуля). Поэтому если 0, то в иссследуемом семействе при = 0 происходит т.н. мягкая потеря устойчивости (решения,

r=-

близкие к нулю, удаляются от него на расстояние порядка предельный цикл). Опишем теперь ектории. Пусть имеется векторное поле в





), а при

c>0



жесткая потеря устойчивости

(решения, близкие к нулю, переходят в другой режим, например, начинают наматываться на далекий

бифуркацию удвоения периода,
R
3

связанную с потерей устойчивости периодической тра-

и замкнутая периодическая траектория. Если мультипликаторы (соб-

ственные значения линеаризации преобразования монодромии ме того, если мультипикаторы отличны от

f

) по модулю отличны от

1,

то по теореме

Гробмана-Хартмана топологический тип фазовых кривых в окрестности этой траектории не меняется. Кро-

1

, то сама кривая не исчезает, а лишь немного деформируется (по

теореме о неявной функции, примененной к функции

f (x) - x

).

Если же в семействе появляется векторное поле с мультипликатором, равным

-1,

то от периодической тра-

ектории ответвляется дважды наматывающаяся на нее замкнутая фазовая кривая. Такая бифуркация, равно как и соответствующая бифуркация после рассмотрения отображения Пуанкаре и перехода к случаю дискретного времени, называется

бифуркацией удвоения периода. Бесконечные последовательности таких

бифуркаций будут основной темой курса. Начало изучения самого важного модельного примера в упражнениях.