Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/ryzhov-lect8.pdf Дата изменения: Tue May 17 14:17:28 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:21:38 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п

Ренормализация и универсальность Фейгенбаума - 9 11.04.2011

полиномиально-подобные отображения квазиконформные отображения теорема о выпрямлении плотность периодических точек в множестве Жюлиа
Часть 1. Полиномиально-подобные отображения
Для того, чтобы было удобно распространить различные свойства полиномиальных отображений на более широкий класс функций, Дуади и Хаббардом был введен термин полиномиально-подобных отображений (p olynomial-like maps). Мы опишем их основные свойства, не приводя доказательств.
Определение 1.1. Голоморфное отображение

Ренормализация.

f: U V

открытых дисков

если прообраз любого компактного множества компактен обозначается

U , V называется собственным, 1. В этом случае прообраз каждой точки конестепенью собственного отображения и

чен; его мощность (посчитанная с учетом кратностей) называется

deg f

.

f : C C степени d > 1. Каждая точка имеет d прообразов с учетом кратностей. V = { z : |z | < R } достаточно большого радиуса содержит свой прообраз U = f -1 (V ), и его замыкание компактно в V . Напомним, заполненное множество Жюлиа состоит из всех точек, положительные -n полуорбиты которых ограничены, и равно K (f ) = n>0 f (V ).
Рассмотрим многочлен Диск Эти соображения мотивируют следующее определение.
Определение 1.2.

жение, для которого замыкание

Полиномиально-подобным отображением f : U V называется собственное отобра? U компактно в V . Заполненным множеством Жюлиа полиномиально-n подобного отображения называется K (f ) = n>0 f (V ). Степенью полиномиально-подобного отображения
называется максимальное число прообразов точки. Для того, чтобы сформулировать ключевой факт про полиномиально-подобные отображения теорему о выпрямлении нам понадобится еще одно важное определение.

Часть 2. Квазиконформные отображения
Квазиконформные отображения являются обобщением конформных и неформально определяются как отображения, переводящее малые круги в малые эллипсы с равномерно ограниченным эксцентриситетом (в случае конформных отображений он равен нулю). Строгое определение следующее.
Определение 2.1. Гомеоморфизм

f: X Y

между римановыми поверхностями называется

формным, если Бельтрами :
где

f

имеет частные производные по направлениям

/ z

и

/ z , ?

удовлетворяющие

квазиконуравнению

ч

измеримая функция, удовлетворяющая условию

Если

|ч|

K -1 K +1 , то отображение

f / z = ч(z ) ћ f / z , ? sup |ч| < 1 f называется K -квазиконформным.

. Функция

ч

называется

дилатацией.

Примеры 2.2.

(2) Любое (3) (4)

(1) Отображения (x, y ) (x, 2y ) и (x, y ) (x, y /2) 1-квазиконформное отображение конформно. Композиция g f K1 -квазиконформного и K2 -квазиконформного -1 Если f K -квазиконформно, то f также K -квазиконформно.

являются

2-квазиконформными. K1 K2
-квазиконформна.

отображений

Теорема 2.3 (Ahlfors, Bers, 1960). Для любой функции ч на плоскости класса L , удовлетворяющей ||ч|| < 1, существует единственное квазиконформное отображение : C C, имеющее неподвижные точки 0 и 1, такое что дилатация равна ч.

1вообще,

непрерывное отображение топологических пространств называется

собственным

, если прообраз любого компакт-

ного множества компактен

1


2
Часть 3. Теорема о выпрямлении.

Определение 3.1. Два полиномиально-подобных отображения

ми, если между ними существует квазиконформное сопряжение
ных множеств Жюлиа

f ,

и

g

называются

гибридно эквивалентны-

определенное в окрестности их заполнен-

K (f )

и

K (g ),

такое что

? = 0

на

K (f )

.

Замечание 3.2. Термин, по всей видимости, происходит от того, что отображения

f

и

g

больше чем ква-

зиконформно эквивалентны, но при этом меньше, чем конформно эквивалентны.

Любое полиномиально-подобное отображение f гибридно эквивалентно полиномиальному (точнее, его ограничению на подходящий круг) отображению g той же степени. Если при этом K (f ) связно, то многочлен g определен однозначно с точностью до аффинного сопряжения.
Теорема 3.3 (Douady, Hubbard, 1985).

Теорема о выпрямлении позволяет переносить различные свойства полиномиальных отображений на полиномиальноподобные. Вот пример такого рода.
Следствие 3.4.

Периодические точки полиномиально-подобного отображения степени множестве Жюлиа.

d > 1 плотны в

Доказательство. По теореме о выпрямлении, утверждение немедленно следует из соответствующего факта
для многочленов (см. ниже).

Часть 4. Плотность периодических точек в множестве Жюлиа.

Теорема 4.1 (Fatou, Julia, 1985).

Периодические точки рационального отображения степени

d > 1 плотны

в множестве Жюлиа. Доказательство. Пусть

z0

некоторая точка

J (f )

, не являющаяся ни критической, ни неподвижной. Мы

докажем, что в любой ее окрестности есть периодическая точка; этого достаточно, потому что, согласно пункту 5 следствия из теоремы о транзитивности (лекция 4), множество Жюлиа не имеет изолированных точек, поэтому конечное число точек критические и неподвижные можно исключить из рассмотрения. У точки

z

0 существует

d

прообразов

z1 , . . . zd

. Согласно предположению, они различны и не совпадают с

z0

.

j (z ), определенных окрестности U точки z0 и удовлетворяющих условиям f (j (z )) = z и j (z0 ) = zj . Докажем, что n такие n N и z U , что f (z ) принимает одно из трех значений: z , 1 (z ) или 2 (z ). Тогда в U периода n или n + 1.
По теореме об обратной функции, можно найти голоморфных функций Проведем рассуждение от противного. Пусть такой точки голоморфных функций (двойных отношений)

d

в некоторой существуют будет точка

z

не существует ни при каком

n

. Тогда семейство

gn (z ) =
не принимает трех значений ничении на

0, 1, ,

и потому

f n (z ) - 1 (z ) z - 1 (z ) ћ f n (z ) - 2 (z ) z - 2 (z ) нормально. Тогда и fn образует

нормальное семейство в огра-

U

, что противоречит тому, что

U

пересекается с множеством Жюлиа.

Замечание 4.2. Кроме того, можно доказать (

теорема Фату ), что рациональное отображение степени

больше

1

имеет конечное число притягивающих или нейтральных циклов. Поэтому, более того, в множестве

Жюлиа плотны отталкивающие циклы.