Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/alg2tasks_04.pdf Дата изменения: Tue Mar 1 20:56:03 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:12:20 2013 Кодировка: koi8-r

Алге бра 2

Вещественные и комплексные представления

28.02.2011 Листок 4

ется векторным пространством и над R, о бозначим его VR . Пусть U { векторное пространство над R, положим UC = C R U , это векторное пространство над C. Пусть дано представление группы G в комплексном пространстве V . Забывая комплексную структуру, получаем представление G в VR над R. Обратно, если : G GL(U ) { представление в пространстве U над R, то определено представление C : G GL(UC ) в пространстве UC : C (g)(z u) = z (g)(u). Задача 6. a) Как связаны размерности V и VR ? U и UC ? b) Пусть U { вещественное представление. Докажите, что (UC )R U U . = V V . c) Пусть V { комплексное представление. Докажите, что (VR )C = Задача 7. Пусть V { неприводимое представление G над C. Тогда либо VR неприводимо над R, либо V изоморфно представлению вида UC , где U { неприводимое вещественное

Все представления в этом листке считаются конечномерными. Задача 1. a) Докажите, что для любой конечной группы существует точное представление над любым полем. b) Докажите, что для любой конечной группы G существуют такие n и множество X Rn , что G есть группа линейных прео бразований Rn , сохраняющих X . Задача 2. Пусть |G| = 0 в k, V1 ; : : : ; Vk { все неприводимые представления G над k, ci = dimk EndG (Vi ). a) Докажите формулу |G| = k=1 (dimk Vi )2 =ci : i b) Получите аналог (для незамкнутого поля) формулы для числа классов неприводимых представлений через количество классов сопряжённости элементов G. Пусть Q = {±1; ±i; ±j; ±k} H { подгруппа по умножению. Задача 3. a) Докажите, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо D4 , либо Q. b) Задайте Q о бразующими и соотношениями. c) Найдите все неприводимые представления Q над C. Задача 4 . Докажите, что любое представление конечной группы над R изоморфно своему двойственному. Задача 5. a ) Докажите, что всякая конечномерная алге бра с делением над R изоморфна R; C или H. b) Если U { неприводимое представление G над R, то EndG (U ) R; C или H. = Овеществление и комплексификация. Пусть V { векторное пространство над C, оно явля-

представление. Задача 8. Пусть U { неприводимое представление группы G над R. a) Если EndG (U ) = R, то UC неприводимо и UC UC . = b) Если EndG (U ) = C, то UC V+ V- , где представления V+ и V- неприводимы над C, = неизоморфны друг другу и (V+ ) V- . = G (U ) = H, то U V V , где пр едставление V неприводимо над C и (V ) V . c) Если End = C= d) Приведите примеры ко всем трём случаям. Задача 9. Докажите, что любое неприводимое представление конечной абелевой группы над R одномерно или двумерно. Задача 10. Опишите все неприводимые представления над R для a) конечной циклической группы; b) S3 и S4 ; c) кватернионной группы Q.