Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s10/difftop.pdf Дата изменения: Fri May 21 18:36:33 2010 Дата индексирования: Sat Jun 26 03:24:00 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.mccme.ru

В этих записках приводится построение знаменитого примера Милнора нестандартной гомотопической сферы, а также набросок доказательства знаменитой теоремы КервераМилнора о конечности множества гомотопических сфер. Для понимания большей части текста достаточно владения понятием многоо бразия и основами теории гомологий ([FF89], §§12,13,17 или [Pr04], §15, [Pr06], I). Более того, он содержит набор упражнений по основами теории гомологий и поэтому может быть использован на семинарских занятиях по этой теме (например, в НМУ на 2-м курсе). Первый и второй пункты независимы друг от друга; третий пункт использует второй. Большая часть материала преподносится в виде задач. (Это характерно не только для дзенских монастырей, но и для серьезного изучения математики.) Для решения задач достаточно уверенного владения понятием многоо бразия и основами теории гомологий. Все нео бходимые новые определения приводятся здесь (или даются ссылки). Иногда подсказками являются соседние задачи. Задачи, для решения которых читателю нужна литература (или консультация специалиста), приводятся со звездочками и ссылками. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать. Мы пропускаем целые коэффициенты из о бозначений групп гомологий. Мы работаем в гладкой категории, если не оговорено противное.

Препятствия к ко бордантности и нестандартные гомотопические сферы НМУ, А. Скопенков. Весна 2010

гомотопически эквивалентное (и гомеоморфное) сфере S 7 , но не диффеоморфное ей. Многоо бразия M и N называются гомотопически эквивалентными, если существуют непрерывные ото бражения f : M N и g : N M такие, что f g гомотопно idN и g f гомотопно idM . Обозначим Tn := {(x; y ) S n в S n : |x; y | 1} (трубчатую окрестность диагонали). 1. (a) Чему гомеоморфно T1 ? (b) Чему гомеоморфны T3 и T7 ? (с) T2 не гомеоморфно S 2 в D2 . Указание: H1 (@ T2 ) Z аналогично задаче 4d ниже. = 4 в D4 . (d) T4 не гомеоморфно S 2. (a) Любое ото бражение S 1 @ T4 гомотопно ото бражению в точку. (b) Любое ото бражение S 2 @ T4 гомотопно ото бражению в точку. (c) Не любое ото бражение S 3 @ T4 гомотопно ото бражению в точку. Это значит, что @ T4 не является гомотопически эквивалентным сфере S 7 и нео бходимо усложнение конструкции. Обозначим T := T4 . Для нахождения группы H3 (@ T ) рассмотрим фрагмент
@ i H4 (T ) H4 (T ; @ ) H3 (@ T ) H3 (T ) = 0 j

Нестандартные гомотопические сферы Пример сферы Милнора. Существует замкнутое гладкое 7-мерное многообразие,

точной последовательности пары (T ; @ T ). Здесь i | гомоморфизм включения, j | гомоморфизм `позволяющий границу' и @ | граничный гомоморфизм. Для ориентируемого 2n-многоо бразия M о бозначим через


: Hn (M ) в Hn (M ) Z

его форму пересечений [Sk, Sk05, Remark 2.3]. For a manifold M we denote (M ; @ M ) shortly by (M ; @ ). Аналогично определяется билинейное ото бражение : Hn (M ; @ ) в Hn (M ) Z. 3. (a) Обозначим через [S 4 ] H4 (T ) гомологический класс диагонали в S 4 в S 4 . 1


(a) [S 4 ] порождает H4 (T ) и [S 4 ] [S 4 ] = 2. (b) Для любых x; y H4 (T ) выполнено x j y = x y. (c) Существует [D4 ] H4 (T ; @ ), для которого [D4 ] [S 4 ] = 1. (d) H3 (@ T ) = 0. Указание: [D4 ] im j = ker @ , поэтому @ = 0. (e) H3 (@ T ) Z2 . = Обозначим через p : T S 4 сужение на T проекции S 4 вS 4 S 4 на первый сомножитель. Обозначим через (T ; p ) копию пары (T ; p). 4. Существует диффеоморфизм f : (p )-1 D4 p-1 D4 , переводящий пересечение с диагональю в p-1 z , z Int D4 . Обозначим V := T f T . После сглаживания получится 8-многоо бразие V с краем (которое называется водопроводным соединением двух копий многоо бразия T ). 5. (a) Любое ото бражение S 1 @ V или S 2 @ V гомотопно ото бражению в точку. (b) V гомотопически эквивалентно S 4 S 4 . (c) H4 (V ) ZZ имеет базис, в котором матрица формы пересечений H4 (V )вH4 (V ) Z = 21 имеет вид 1 2 . (d) Для этого базиса S1 ; S2 существует базис D1 ; D2 группы H4 (T ; @ ), для которого Si Dj = ij . (e) H3 (@ V ) = 0. (f ) H3 (@ V ) Z3 . = Итак, @ V не является гомотопически эквивалентным сфере S 7 и нео бходимо усложнение конструкции. П остроение сферы Милнора. Рассмотрим граф с вершинами 1; : : : ; 8 и ре брами 12; 23; 34, 45; 56; 67 и 58. Для каждой вершины a графа возьмем свой экземпляр (Ta ; pa ) пары (T ; p), и 4 выберем столько непересекающихся дисков Dab S 4 , сколько вершин соединено с a. 4 4 Для каждого ре бра ab склеим p-1 Dab и p-1 Dba , как при построении многоо бразия V . a b После сглаживания получится 8-многоо бразие W с краем. (Оно называется водопроводным соединением копий многоо бразия T соо бразно графу.) Край @ W этого многоо бразия и есть 7-многоо бразие из примера Милнора. 6. (a) Любое ото бражение S 1 @ W или S 2 @ W гомотопно ото бражению в точку. (b) Выберите базисы S1 ; : : : ; S8 и D1 ; : : : ; D8 групп H4 (W ) и H4 (W; @ ), для которых Si Dj = ij . (c) Найдите матрицу формы пересечений многоо бразия W . (d) H3 (@ W ) = 0. (e) Край @ W гомотопически эквивалентен S 7 . (f ) Сигнатура (формы пересечений) многоо бразия W равна 8. Читатель, не знакомый с понятием расслоения, может не решать пункты (b,c,d,e) следующей задачи. 7. (a) S n в S n вложимо в R2n+1 . (b) Сумма касательного расслоения к S n в S n и одномерного тривиального расслоения над S n в S n тривиальна. (c) Многоо бразие Tn параллелизуемо, т.е. имеет семейство из 2n касательных векторных полей, линейно независимых в каждой точке. (d) Многоо бразие V параллелизуемо. (e) Многоо бразие W параллелизуемо. (f ) Выведите недиффеоморфность @ W и S 7 из задач 6f, 7e и следующего результата. 2


лелизуемого 8-мерного многообразия делится на 7 (даже на 224). 8. Построим аналогично 4-мерное многоо бразий W с краем. Докажите, что @ W не вложимо гладко в S 4 , используя следующий результат. (Заметим, что по теореме Фридмана, @ W топологически вложимо в S 4 .) Теорема Рохлина о сигнатуре. Сигнатура гладкого замкнутого почти параллелизуемого 4-мерного многообразия делится на 16.
@ T4 продолжается до ото бражения D2 T4 . Ото бражение D2 T4 можно изменить малым шевелением, что бы оно перестало пересекать диагональ в S 2 в S 2 . Ото бражение D2 T4 , не пересекающее диагональ в S 2 в S 2 , гомотопно ото бражению D2 @ T4 . Замечание. Задачу 2 можно делать, используя точную последовательность расслоения. Для S 1 и S 2 получится то же решение, что и выше, но более сложно изложенное. 5. (a) Используя теорему Зейферт-Ван Кампена и последовательность Майера-Виеториса, докажите 1 (V ) = H2 (V ) = 0. Затем воспользуйтесь теоремой Гуревича. 6. (d) Ответ: aii = 2, aij = 1 или aij = 0 соо бразно тому, соединены ли вершины i; j ре бром или нет. (e) (ср. [Br72, V.2.7]) Достаточно доказать, что j : H4 (W ) H4 (W; @ ) эпиморфно. Для произвольного x H4 (W; @ ) определим линейную функцию fx : H4 (W ) Z формулой fx (y) = x y. По (c) форма пересечений H4 (W ) в H4 (W ) Z унимодулярна. Поэтому существует x H4 (W ), для которого fx (y) = x y для любого y H4 (W ). По двойственности Пуанкаре x - j x = 0. Итак, j эпиморфно. 7. (b,c) Докажите и используйте следующий факт: если p : E B | векторное расслоение со слоем Rn , p " тривиально и b := dim B < n, то p тривиально. Для доказательства этого факта убедитесь, что препятствия к тривиальности о боих расслоений одинаковы (и, значит, нулевые) ввиду того, что ото бражение включения b (S On ) b (S On+1 ) является изоморфизмом.

Теорема Хирце бруха о сигнатуре. Сигнатура гладкого замкнутого почти парал-

Указания. 2. (a) Ото бражение S

1

(b) Любое одномерное или двумерное замкнутое ориентируемое многоо бразие является краем некоторого многоо бразия. (c) Любое двумерное замкнутое неориентируемое многоо бразие четной эйлеровой характеристики является краем некоторого многоо бразия. 2. (a) RP 2 не является краем многоо бразия. Решение. Пусть, напротив, M | 3-многоо бразие и @ M RP 2 . Обозначим через M = копию многоо бразия M . Тогда 0 = (M RP 2 M ) = (M ) + (M ) - (RP 2 ), откуда (RP 2 ) четно. Противоречие. (b) Замкнутое 2-многоо бразие является краем многоо бразия тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристика четна. (c) Теорема. Если замкнутое многообразие является краем многообразия, то его эйлерова характеристика четна. (Эта теорема интересна только для четномерных многоо бразий.) (d) Если замкнутое 2k-многоо бразие N является краем многоо бразия, то rk Hk (N ) четен. Теорема. Любое замкнутое 3-многообразие является краем некоторого многообразия. 3. (a) RP 2k+1 является краем некоторого многоо бразия. 3

1. (a) Если A и B | замкнутые многоо бразия и A = @ M , то A в B = @ (M в B ).

Препятствия к нуль-ко бордантности


(b) Любое одномерное или двумерное замкнутое ориентируемое многоо бразие является краем некоторого ориентируемого многоо бразия. (с) Любое одномерное или двумерное замкнутое ориентированное многоо бразие является ориентированным краем краем некоторого ориентированного многоо бразия. Напомним, что ориентированным многоо бразием называется ориентируемое многоо бразие с фиксированной ориентацией. Теорема. Любое замкнутое ориентированное 3-многообразие является ориентированным краем некоторого ориентированного многообразия. 5. Ориентированное (произвольно) многообразие CP 2 CP 2 не является ориентированным краем ориентированного многоо бразия. Указание: если не получается, то см. следующие задачи. 6. Для 2n-мерного многоо бразия M с краем и гомоморфизма включения i : Hn (@ M ) Hn (M ) (a) ix ix = 0 при любом x Hn (@ M ); (b) im i = Hn (M ) , где ортогональное дополнение берется относительно формы пересечений Hn (M ) в Hn (M ) Z. Указание: используйте следующий результат. Теорема двойственности Пуанкаре (сложная часть). Для ориентированного гладкого m-многообразия M билинейное умножение : Hn (M ) в Hm-n (M ; @ ) Z унимодулярно, т.е. для любого примитивного (т.е. не делящегося на целое число, большее 1) элемента Hn (M ) существует такой Hm-n (M ; @ ), что = 1 Z. 7. (ср. [Pr06, теорема 8.16]) Для ориентированного (2n + 1)-многоо бразия M и гомомор@ i физмов Hn+1 (M ; @ ) Hn (@ M ) Hn (M ) имеем (a) x @ y = ix y для любых x Hn (@ M ) и y Hn+1 (M ; @ ). (b) @ y @ y = 0 при любом y Hn+1 (M ; @ ). (с) im @ = (im @ ) , где ортогональное дополнение берется относительно формы пересечений Hn (@ M ) в Hn (@ M ) Z. (d) 2 rk im @ = rk Hn (@ M ). 8. Теорема Понтрягина (?). Если замкнутое ориентированное 4k-многообразие N является ориентированным краем ориентируемого многообразия, то (N ) = 0. 9. (a) Аддитивность. (M N ) = (M ) + (N ). (b) Мультипликативность. (M в N ) = (M )(N ). (c)* Аддитивность Новикова-Рохлина. (M N ) = (M ) + (N ) [Pr06].
@ M =@ N

4. (a) Край ориентируемого многоо бразия замкнут и ориентируем.

(b) (c) (d) (e) (f ) (g)

RP n является краем многоо бразия тогда и только тогда, когда n нечетно. CP 2k не является краем многоо бразия. CP 2k+1 является краем многоо бразия (даже ориентируемого). CP n является краем многоо бразия тогда и только тогда, когда n нечетно. RP 2 в RP 2 не является краем многоо бразия. При каком условии RP n1 в : : : RP nk является краем многоо бразия?

и используйте инволюцию на CP 2k+1 без неподвижных точек. (f ) e(RP 2 в RP 2 ) = e(RP 2 )2 1 mod 2. 7. (c) Указание: используйте (a,b) и двойственность Пуанкаре. 4

Указания. 3. (d) Постройте и используйте расслоение CP

2k+1 HP k

со слоем S 2 . Или постройте


Если x Hn (@ M ) и x im @ = 0, то ix y = x @ y = 0 для любого y H Значит, по двойственности Пуанкаре ix = 0, т.е. x im @ . (d) Указание: используйте (c) и двойственность Пуанкаре.

n+1

(M ; @ ).

Замкнутые ориентированные многоо бразия N1 и N2 называются ориентированно кобордантными, если существует ориентированное многоо бразие (ориентированный кобордизм) с границей N1 (-N2 ) (при этом одно из многоо бразий может быть пустым). Через -N2 о бозначается ориентированное многоо бразие, полученное из N2 изменением ориентации. 1. (a) M N кобордантно M #N . (b) Любое многоо бразие ко бордантно связному. 2. (a) Перестройка дает многообразие, кобордантное исходному. (b)* Обратно, если многоо бразия ко бордантны, то одно можно получить из другого перестройками. 3. (a) Любое ориентируемое многоо бразие размерности = 3 кобордантно односвязному. (b) Любое спинорное (т.е. параллелизуемое в окрестности двумерного остова некоторой триангуляции) многоо бразие размерности 6 ко бордантно двусвязному. (c) Любое спинорное многоо бразие размерности 8 параллелизуемо в окрестности трехмерного остова некоторой триангуляции и потому ко бордантно трехсвязному. Теорема Кервера-Милнора. Множество n ориентированных n-многообразий, гомотопически эквивалентных S n (гомотопической сфер), с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма, конечно при n 6. 4. Этот результат равносилен следующему: множество n-многоо бразий, гомотопически эквивалентных S n , с точностью до диффеоморфизма, конечно при n 6. Лемма. Нормальное расслоение вложения гомотопической сферы в Rm тривиально для большого m. Препятствие к тривиальности лежит в n-1 (S O). Поэтому лемма верна для n 3; 5; 6; 7 mod 8. Для других n доказательство более сложно. О конструкции Понтрягина см., например, [Pr04], §18. Для гомотопической сферы N Rm c нормальным оснащением о бозначим через p(N ; ) m (S m-n ) n класс оснащенного ко бордизма. =S 5. Для стандартной сферы S n Rm , большого m и x n (S Om-n ) n (S O) рассмотрим = оснащение нормального расслоения, полученное из стандартного оснащения при помощи S x. Обозначим через J (x) n класс оснащенного ко бордизма полученного оснащенного многоо бразия. (a) Определите аналогично и вычислите J : 1 (S O2 ) 3 (S 2 ). S (b) Вычислите J : 1 (S O) 1 . S (c)* Вычислите J : 3 (S O) 3 . S гомоморфизм. (d) J : n (S O) n (e)* p(N ; x ) = p(N ; ) + J (x). S Ввиду 5de ото бражение p : n n = im J корректно определено формулой p(N ) := p(N ; ) + im J . 6. (a) Операция связного суммирования превращает n в группу. (b) p гомоморфизм. Поэтому и поскольку группа n : Ы конечна для n > 0, достаточно доказать, что ker p конечно. 7. (a) Если нормальное расслоение тривиально, то сумма касательного и одномерного тривиального тривиальна. 5

Перестройки и классификация гомотопических сфер


(b) Для связного многоо бразия с непустым краем если сумма касательного и одномерного тривиального расслоений тривиальна, то касательное расслоение тривиально. (c) p(N ) = 0 тогда и только тогда, когда N является границей параллелизуемого многоо бразия. В следующих задачах N = @ W гомотопическая n-сфера и W параллелизуемо. По поводу задач, отмеченных звездочками, см. [KM63]. 8. (a) Если W стягиваемо, то N S n . = (b)* Можно так выбрать оснащение сферы S i W , что бы результат перестройки по этой сфере с этим оснащением был параллелизуемым. (c) Перестройками можно до биться того, что бы W стало ([n=2] - 1)-связным. 9. Пусть n = 2k и W получено из W перестройкой сферы S k W . (a) Существует x Hk (W ), для которого Hk (W )=x Hk (W )=[S k ]. = k ] H (W ) примитивен, то H (W ) H (W )=[S k ]. (b) Если [S =k k k (c) Если k 4 четно, то rk Hk (W ) = rk H2 (W ). (d)* Если k 4 четно, то N S n . = (e)* Если k 3 нечетно, то N S n . = 10. (a)* Если n = 4l - 1 7 и (W ) = 0, то N S n . = (b)* Существует замкнутое почти параллелизуемое 4l-многоо бразие M , для которого (M ) = 0. (c) Если n = 4l - 1 7 и (W ) делится на (M ), то N S n . = 11. Пусть n = 4l + 1 17. Перестройками можно до биться того, чтобы W стало 2l-связным (и осталось параллелизуемым). Реализуем элемент x H2l+1 (W ) вложением x : S 2l+1 W . Обозначим через
q(x) ker[i : 2l (S O2l+1 ) 2l (S O)] Z =
2

препятствие к тривиальности нормального расслоения вложения x. Обозначим Arf (N ) := Arf (q) := i q(ai )q(bi ) Z2 , where a1 ; : : : ; am ; b1 ; : : : ; bm is a symplectic basis of H2l+1 (W ). (a) q квадратичная форма над Z2 . (b) Arf (N ) действительно зависит только от N . (c) Если Arf (N ) = 0, то N S n . = Заметим, что Arf (N ) = 0 для l = 1; 3; 7; 15; 31. Это решение знаменитой про блемы Кервера, полученное около 2008 г. 12. Выведите теорему Кервера-Милнора из предыдущего. [Br72] Браудер В., Перестройки односвязных многоо бразий, М., Наука, 1984. [FF89] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989. [KM63] A. Kervaire and J. W. Milnor, Groups of homotopy spheres, I, Ann. Math., 77 (1963) 504{537. [Pr04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО, 2004. http://www.mccme.ru/prasolov [Pr06] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, Москва, МЦНМО, 2006. http://www.mccme.ru/prasolov [Sk] А. Б. Скопенков, Алге браическая топология с элементарной точки зрения, Москва, МЦНМО, в печати, http://arxiv.org/abs/math/0808.1395. [Sk05] A. Skopenkov, A classi cation of smooth embeddings of 4-manifolds in 7-space, Topol. Appl., to appear. http://arxiv.org/ math.GT/0512594 6

Литература