Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/difgem_examen1.ps Дата изменения: Fri May 15 17:26:34 2009 Дата индексирования: Sat Oct 17 00:18:38 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: jet

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия.
Экзамен. 15.05.2009.
Экзамен будет домашним. Решения (не забудьте написать свою фамилию!) надо
не позднее, чем через 2 недели, положить в учебной части в почтовую ячейку с
моим именем (А. Пенской) или оставить на вахте внизу в конверте с моим именем.
Убедительная просьба решать самостоятельно и не откладывать на последний
день.
Для того, чтобы экзамен был засчитан, необходимо получить зач?т. Для по-
лучения зач?та надо решить в каждом из листков с задачами не менее половины
задач (в задачах из нескольких пунктов каждый пункт решено считать отдельной
задачей). Прием задач из листков не заканчивается на семинаре 15 мая, но после 15
мая надо договариваться с лектором или семинаристом о встрече для сдачи задач.
Пересчет баллов в оценки следующий: 50 баллов достаточно для ?отлично?, 40
для ?хорошо?, 30 для ?удовлетворительно?.
Задача 1. Пусть K и H являются гауссовой и средней кривизной поверхно-
сти соответственно (напомним, что мы придерживаемся определения, при кото-
ром H есть сумма главных кривизн, а не полусумма). Докажите, что H 2 # 4K.
(5 баллов)
Задача 2. Поверхность называется линейчатой, если она параметрически
задается в виде
#r(u, v) = # #(u) + v#a(u).
Докажите, что на линейчатой поверхности гауссова кривизна всюду неположи-
тельна. (5 баллов)
Задача 3. Из аналитической геометрии вы знаете примеры поверхностей,
на которых есть два различных семейства прямолинейных образующих. Дока-
жите, что если на гладкой двумерной поверхности в трехмерном пространстве
есть три различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность
является куском плоскости. (10 баллов).
Задача 4. Рассмотрим плоскость Лобачевского, например как вернюю по-
луплоскость R 2
+ с метрикой
ds 2 = dx 2 + dy 2
y 2 .
Докажите, что секционная кривизна всюду равна -1. (5 баллов).
Задача 5. Пусть M 1 и M 2 римановы многообразия. На прямом произведе-
нии M = M 1 Ч M 2 естественным образом вводится структура риманова мно-
гообразия, так как на касательном расслоении TM = TM 1 # TM 2 естественно
вводится евклидова метрика.
Пусть p i : M = M 1 Ч M 2 -# M i , i = 1, 2, естественные проекции. Чтобы
упростить дальнейшие формулы, введ?м обозначение X i = dp i (X) # #(TM i ),
где X # #(TM) векторное поле на M. Пусть R тензор Римана риманова мно-
гообразия M, а R i тензор Римана римановых многообразий M i , i = 1, 2.
a) Доказать, что
#R(X, Y )Z, W # = #R 1 (X 1 , Y 1 )Z 1 , W 1 # + #R 2 (X 2 , Y 2 )Z 2 , W 2 #.
(5 баллов).
b) Пусть # # T p M, p # M, такая 2-плоскость, что dim dp i (#) = 1, i = 1, 2,
то есть плоскость # ?натянута на вектор, касательный к M 1 , и на вектор,
касательный к M 2 ?. Доказать, что тогда секционная кривизна в точке p
в направлении # равна нулю, K # = 0. (5 баллов).

Задача 6. Пусть [z 0 : ћ ћ ћ : z n ] однородные координаты в RP n . Напомним,
что отображение Веронезе степени d  это отображение # d : RP n
-# RP N ,
заданное формулой
# d ([z 0 : . . . :z n ]) = [. . . :z I : . . . ], (1)
где z I это некоторый моном степени d от z 0 , . . . , z n , а в правой части (1) стоят
все мономы степени d. Например, при n = 2 и d = 2 получаем отображение
RP 2
-# RP 5 , заданное формулой
# 2 ([z 0 : z 1 : z 2 ]) = [z 2
0 : z 2
1 : z 2
2 : z 0 z 1 : z 0 z 2 : z 1 z 2 ].
Найдите обратный образ # #
d # 1 универсального расслоения при этом отображе-
нии. (10 баллов).
Задача 7. Для ориентированной поверхности в евклидовом пространстве
M 2 ## R 3 выразить классы Эйлера и Понтрягина через первую и вторую квад-
ратичные формы. (10 баллов).
Задача 8 # . Найти число Понтрягина
#p 1 (r# 1
H ), [S 4 ]# = # S 4
p 1 (r# 1
H ),
где # 1
H = (E -# HP 1
# S 4 )  универсальное расслоение над кватернионной
проективной прямой, а r операция овеществления (не забывайте о некоммута-
тивности кватернионов!) (25 баллов).